Jak policzyć całkę? Andrzej.: ∫1/x³+4x²+5x dx

wredulus_pospolitus: zapisz to poprawnie studencie

Andrzej.: ∫1/(x³+4x²+5x) dx Tak dobrze?

Adamm: rozkład na ułamki proste, x³+4x²+5x = x(x²+4x+5)

Mariusz:

	1
∫		dx
	x3+4x2+5x

	x
∫		dx
	x4+4x3+5x2

	x
∫		dx
	x2(x2+4x+5)

	1   t
−∫
	1   4   + +5 t2   t

	1	t2
−∫			dt
	t	5t2+4t+1

	t
−∫		dt
	5t2+4t+1

	1		10t+4−4
−		∫		dt
	10		5t2+4t+1

	1		10t+4		2		dt
−		∫		dt+		∫		dt
	10		5t2+4t+1		5		5t2+4t+1

	1		10t+4		2		dt
−		∫		dt+		∫		dt
	10		5t2+4t+1		25		4   1   t2+ t+   5   5

	1		10t+4		2		dt
−		∫		dt+		∫		dt
	10		5t2+4t+1		25		2   1   (t+ )2+   5   25

	1		10t+4		dt
−		∫		dt+2∫
	10		5t2+4t+1		(5t+2)+1

	1		10t+4		2		5
−		∫		dt+		∫		dt
	10		5t2+4t+1		5		(5t+2)+1

	1		2
−		ln|5t2+4t+1|+		arctg(5t+2)+C
	10		5

	1		5+4x+x2		2		2x+5
−		ln|		|+		arctg(		)+C
	10		x2		5		x

piotr:

1		−x − 4		1
	=		+		=
x3 + 4 x2 + 5 x		5 (x2 + 4 x + 5)		5 x

	2x + 4		2		1
= −		−		+
	10 (x2 + 4 x + 5)		5 (x2 + 4 x + 5)		5 x

Mariusz: Po podstawieniu rozkład na sumę ułamków prostych nie było już potrzebne

piotr: ale czy wynik jest dobry? chodzi mi o ten arctg.

jc: Twój wynik? Na pewno (zakładam, że dokończenie zadania jest oczywiste).

	2x+5
Czy chodzi o równość: artg		+ arctg (x+2) = C, tylko ile wynosi C?
	x

NA pewno jest inne dla dodatnich x i dla ujemnych.

jc: C=arctg 2 + π/2 dla dodatnich x, C=arctg 2 − π/2 dla ujemnych x.

Adamm: funkcja pierwotna jest wyznaczona z dokładnością do stałej na odcinkach otwartych

Mariusz:

	1		5+4x+x2		2		2x+5
F(x)=−		ln|		|+		arctg(		)
	10		x2		5		x

	1	x2		10		4
F'(x)=−			(−		−		)+
	10	5+4x+x2		x3		x2

	2	1		−5
			(		)
	5	(2x+5)2   1+   x2		x2

	1	x2	(−10−4x)		1		1
F'(x)=−				−2		(		)
	10	5+4x+x2	x3		4x2+20x+25   1+   x2		x2

	1	(4x+10)		1		1
F'(x)=			−2		(		)
	10	x(5+4x+x2)		5x2+20x+25   x2		x2

	1	2x+5		x2	1
F'(x)=			−2
	5	x(5+4x+x2)		5x2+20x+25	x2

	1	2x+5		2
F'(x)=			−
	5	x(5+4x+x2)		5x2+20x+25

	1	2x+5		2	1
F'(x)=			−
	5	x(5+4x+x2)		5	x2+4x+5

	1	2x+5		1	2x
F'(x)=			−
	5	x(5+4x+x2)		5	x(x2+4x+5)

	1	5
F'(x)=
	5	x(5+4x+x2)

	1
F'(x)=
	x(5+4x+x2)