suma szeregu lola456: Oblicz sumę szeregu:

	2n − 1
Σ
	2n

Nie mam pomysł jak ugryźć tę sumę:

	1		3		5		2n − 1
S = limn−>∞ (		+		+		+ ... +		)
	2		4		8		2n

ABC:

	n
wystarczy że umiesz ∑		a tego jest pełno w internecie, gość już w XIV bodajże wieku to
	2n

obliczył chytrym sposobem

Adamm:

	n 1		1
∑		xn, to pewnie
			(1−x)2

jc: S=x+3x²+5x³+7x⁴+9x⁵ S(1−x)=S−xS = x+2x²+2x³+2x⁴+2x⁵−9x⁶ =2(x+x²+x³+x⁴+x⁵)−x−9x⁶ x=1/2 S/2=2(1/2+1/4+1/8+1/16+1/32) − 1/2 −9/64 =2(1−1/32)−1/2−9/64 Dla n mamy S_n=4(1−1/2ⁿ) − 1 + (2n−1)/2ⁿ →3

lola456: a skąd wiadomo, że S jest akurat takiej postaci?: S=x+3x²+5x³+7x⁴+9x⁵

jc: Tak wygląda piąta suma częściowa. Zamiast 1/2 wpisałem x, żeby wyraźniej było widać, co się dzieje. Potem wstawiłem x=1/2. Na koniec napisałem wzór na n−tą sumę częściową. Przykład z n=5 sugeruje, jak będzie wyglądał ogólny wzór, który możesz udowodnić indukcyjnie.