Jak policzyć całkę? Daniel.: ∫1/(x²+1)²dx

wredulus_pospolitus: podstawienie:

	sin s
x = tg s (czyli x =		)
	cos s

	1
wtedy x2 + 1 =
	cos2s

	1
dx =		ds
	cos2s

jc: Klasycznie przez części?

	1		(1+x2)−x2
∫		dx = ∫		dx
	(1+x2)2		(1+x2)2

	1		x2
=∫		dx − ∫		dx=
	1+x2		(x2+1)2

	1		1
= arctg x +		∫x*(		)' dx
	2		1+x2

	1		x		1		1
= arctg x +		*		−		∫		dx=
	2		1+x2		2		1+x2

1		x
	(arctg x +		)
2		1+x2

wredulus_pospolitus: jc ... u mnie po podstawieniu też idziemy przez części bo mamy całkę ∫ cos² s ds

jc:

	1		s		sin 2s		1		sin s cos s
∫cos2s ds =		∫(1+cos 2s) ds =		+		=		+
	2		2		4		2		2

Mariusz: Można by od razu wyprowadzić wzór redukcyjny

	1		1+x2−x2
∫		dx=∫		dx
	(x2+1)n		(x2+1)n

	1		x	−(n−1)*2x
=∫		dx+∫			dx
	(x2+1)n−1		2n−2	(x2+1)n

	1		1	x		1		1
=∫		dx+			−		∫		dx
	(x2+1)n−1		2n−2	(x2+1)n−1		2n−2		(x2+1)n−1

	1	x		2n−3		1
=			+		∫		dx
	2n−2	(x2+1)n−1		2n−2		(x2+1)n−1

	1	x		2n−3
In=			+		In−1 n > 1
	2n−2	(x2+1)n−1		2n−2

I₁ = arctg(x)+C Można też użyć metody Ostrogradskiego wydzielenia części wymiernej całki

	L(x)		L1(x)		L2(x)
∫		dx =		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

M₂(x) posiada te same czynniki co M(x) tyle że pojedyncze M(x) = M₁(x)M₂(x) st L₁(x) < st M₁(x) st L₂(x) < st M₂(x) L₁(x) oraz L₂(x) znajdujemy metodą współczynników nieoznaczonych

	1		a1x+a0		b1x+b0
∫		dx=		+∫		dx
	(x2+1)2		x2+1		x2+1

1		a1(x2+1)−2x(a1x+a0)		b1x+b0
	=		+
(x2+1)2		(x2+1)2		x2+1

1=a₁(x²+1)−2x(a₁x+a₀)+(b₁x+b₀)(x²+1) 1=b₁x³+(b₀−a₁)x²+(b₁−2a₀)x+b₀+a₁ b₁=0 b₀−a₁=0 b₁−2a₀=0 b₀+a₁=1 b₁=0 b₀=a₁ a₀=0 2a₁=1

	1
a1=
	2

	1
b0=
	2

	1		1	x		1		1
∫		dx=			+		∫		dx
	(x2+1)2		2	x2+1		2		x2+1

	1		1	x		1
∫		dx=			+		arctg(x)+C
	(x2+1)2		2	x2+1		2