zbiór domknięty zorr0: hej, proszę o pomoc z formalnym dowodem. wykazać, że zbiór x∊X : d(x,x₀)≤r jest domknięty. Chodzi (chyba?) o to, że granica każdego zbieżnego ciągu punktów zbioru X (czyli chyba w każdym przypadku r) należy do tego zbioru. Należy, bo z tego co rozumiem jest to koło o promieniu r i środku w x₀.

jc: Pokaż, że dopełnienie jest otwarte.

jc: Sam pokażę. Niech d(x,x₀)=r+k, k>0, czyli x należy do dopełnienia rozpatrywanego zbioru. Weźmy dowolny y taki, że d(x,y)<k. Wtedy d(x₀,y)+k>d(x₀,y)+d(x,y) ≥ d(x₀,x) = r+k, a więc d(x₀, y)>r. Oznacza to, że wszystkie punkty z otoczenia x o promieniu k należą do dopełnienia rozpatrywanego zbioru.

zorr0: jasne rozumiem, dziękuję. Prosta sprawa, w obie strony to działa prawda? nawet jakbym miał otwarty z warunkiem d(x,x₀)<r to wtedy robie analogicznie tylko k≥0?

jc: Zbiór x takich, że d(x,x₀)<r jest otwarty. Tym razem pokazujesz, że jeśli d(x,x₀)<r, i k=r−d(x,x₀), otoczenie x o promieniu k zawarte jest rozpatrywanym zbiorze (czyli kuli otwartej o środku w x₀ i promieniu r). Spróbuj sam powtórzyć dowód.

zorr0: hmm no to ja bym to tak zrobił: biorę y należące do otoczenia x o promieniu k, czyli d(x,y)<k wtedy r−d(x, x₀) > d(x,y) czyli r> d(x,x₀) + d(x,y)

zorr0: czyli jest to zawarte w danym zbiorze otwartym, czyli zbiór jest otwarty.

jc: W przestrzeni metrycznej otoczenie punktu definiuje się jako kulę otwartą o środku w danym punkcie. Zbiór jest otwarty, jeśli wraz z każdym punktem zawiera pewne otoczenie tego punktu. Zbiór jest domknięty, jeśli jego dopełnienie jest otwarte.