aksjomat Wolfik: Zbiorem wartości funkcji f(x)=sin⁴x+cos⁴x jest? (sin²x+cos²x)²−2sin²xcos²x=1−2sin²xcos²x=1−2sin²x(1−sin²x)=? z2

	1		√3
Funkcje y=−		sinx+		cosx można zapisać w postaci?
	2		2

	π
a)sin(x+		)
	6

	π
b)sin(x+		)
	3

	2π
c)sin(x+		)
	3

	5π
d)sin(x+		)
	5

z3 Ile jest liczb całkowitych w przedziale <−2π,2π> dla ktorych funkcja f(x)=|sinx| przyjmuje wartosci dodatnie? a)4 b)8 c)9 d)12 z4 zbiorem rozwiązań nierówności cos²x−3cosx+2<0 jest? z5 Ile rozwiązań ma równanie log_sinxcosx=1 w przedziale liczb rzeczywistych dodatnich i mniejszych niż 2π?

Mariusz: z1 1−2sin²xcos²x

	1
1−		sin2(2x)
	2

	1
[1−		,1−0]
	2

Zbiór wartości to

	1
[		,1]
	2

z2

	1
cos(θ)=−
	2

	√3
sin(θ)=
	2

c)

	2π
sin(x+		)
	3

z4 cos²x−3cosx+2<0 (cosx−1)(cosx−2)<0 cosx−2 będzie ujemne dla każdego x ∊ ℛ zatem aby równość ryła spełniona to cosx − 1 > 0 ale dla x∊R cosx − 1 ≤ 0 W zbiorze liczb rzeczywistych nie ma x spełniających tę nierówność z5 cosx=sinx cosx−sinx=0

	1		1
√2(		cosx−		sinx)=0
	√2		√2

	π
√2cos(x+		)=0
	4

	π
cos(x+		)=0
	4

	π		π
x+		=		(2k+1)
	4		2

	π		π
x=−		+		(2k+1)
	4		2

	π
k=1 , x=
	4

To jest jedyne rozwiązanie bo tylko w pierwszej ćwiartce zarówno cosinus jak i sinus są dodatnie Czy aby zadaniem na pewno z zadaniem z3 jest wszystko ok ?

Mariusz: z3 W zbiorze <−2π,2π> jest trzynaście liczb całkowitych ale zero trzeba odrzucić więc zostaje dwanaście liczb całkowitych czyli odpowiedź d)

Wolfik: jak wyznaczyć te liczby z zadania 3 skoro na osi podpisujemy je w radianach? mamy |sinx| więc mamy wartości tylko ≥0, ale jak wyznaczyć dokładne wartości tych liczb całkowitych?

Mariusz: |sinx| przyjmuje wartości nieujemne dla każdego x a dla x=kπ przyjmuje wartość zero Chcą wiedzieć dla ilu całkowitych x funkcja przyjmuje wartości dodatnie więc trzeba zliczyć liczbę liczb całkowitych z przedziału <−2π,2π> a następnie wyrzucić zero

Wolfik: i jak właśnie zliczyć te liczby całkowite?

Wolfik: a, juz wiem

Wolfik: czemu w 3 linijce w zadaniu piątym jest √2?

Mariusz: Niech

	a
cos(θ)=
	√a2+b2

oraz

	b
sin(θ)=
	√a2+b2

wtedy

	a		b
cos(x+θ)=		cosx −		sinx
	√a2+b2		√a2+b2

W tym równaniu a=1 oraz b=1

Wolfik: dziękuję

Patryk:

	pi
A w zadaniu 2 mogło by być również sin(x−		) ? Wychodzi na to samo tylko, że w podanych
	3

odpowiedziach nie ma takiej...