Zbiory domknięte, otwarte, zwarte, gęste, wnętrza i brzegi, Nancy14: Czy zbiory te są domknięte, otwarte, zwarte, gęste? Znaleźć ich wnętrza i brzegi. (przestrzenie euklidesowe) Prosiłabym o sprawdzenie odpowiedzi. a) (0,1) w ℛ− otwarty, nie jest zwarty ani gęsty, brzeg to zbiór {0,1}, wnętrze (0,1), b) [0,1) w ℛ− ani otwarty, ani domknięty, nie jest zwarty ani gęsty, brzeg to {1}, zaś wnętrze (0,1), c) ℛ w ℛ − otwarty, gęsty, wnętrze ℛ, brzeg ∅, d) ℚ w ℛ − otwarty, gęsty, wnętrze to ℚ, brzeg to liczby niewymierne, e) ℛ\ℚ (liczby niewymierne) w ℛ − otwarty, gęsty, wnętrze to ℛ\ℚ, brzeg to wymierne, f) ℕ w ℛ − domknięty (zawiera swoje punkty skupienia), ani gęsty, ani zwarty, wnętrze ∅, brzeg ∅, g) {(x,y) ∊ℛ²:y=sin(1/x)} w ℛ² − ani otwarty, ani domknięty, nie jest gęsty, ani zwarty, brzeg ∅, wnętrze ℛx[−1,1], h) {(x,y)∊ℛ²:y=1/x} w ℛ² − otwarty, gęsty, wnętrze to ℛ², brzeg ∅, i) ℛ x ℕ w ℛ² − ani otwarty, ani domknięty, nie jest gęsty ani zwarty, brzeg ∅, wnętrze ∅, j) ℛ x [0,∞) w ℛ² − ani otwarty, ani domknięty, gęsty, wnętrze ∅, brzeg ℛ x [0,∞), k) [0,1) x {0} w ℛ² − ani otwarty, ani domknięty, nie jest gęsty, ani zwarty, wnętrze (0,1) x {0}, brzeg {0} x {0}, l) ℚ x (ℛ\ℚ) w ℛ² − otwarty, gęsty, wnętrze ℚ x (ℛ\ℚ), brzeg (ℛ\ℚ) x ℚ, m) ℛ x {0} w ℛ² − nie jest otwarty, ani domknięty, nie jest gęsty ani zwarty, wnętrze ℛ x {0}, brzeg ∅. Z góry dziękuję.

Adamm: a) a domknięty jest? b) brzeg źle c) a domknięty? d) nie jest otwarty, wnętrze i brzeg źle, czy jest zwarty, domknięty? e) jak wyżej f) brzeg źle, jest otwarty? g) nie rozumiem co to za zbiór, jaśniej proszę h) patrz wyżej i) jest domknięty, brzeg źle j) jest domknięty, nie jest gęsty, czy jest zwarty? wnętrze, brzeg źle k) wnętrze, brzeg źle l) nie jest otwarty, czy jest domknięty, zwarty? wnętrze, brzeg źle m) jest domknięty, wnętrze i brzeg źle oof, trochę tego było

Nancy14: Trochę średnio czuję te definicje, to jest moje pierwsze podejście do nich, ale oto poprawki: a) nie, nie jest domknięty, b) faktycznie, jeżeli teraz dobrze patrzę, to brzeg to {0,1}, c) nie jest domknięty, d) rzeczywiście nie jest otwarty... domknięty też nie jest, a przynajmniej tak myślę. Zwarty nie jest. Brzeg to ℛ, wnętrze ∅, e) tak samo nie jest domknięty ani zwarty, wnętrze ∅, brzeg ℛ, f) nie jest otwarty, brzeg ℕ, g) to zbiór punktów płaszczyzny o współrzędnych (x, sin(1/x)), gdzie x∊ℛ, h) zbiór punktów (x, 1/x), gdzie x∊ℛ, i) hmm czyli iloczyn kartezjański zbioru domkniętego i otwartego jest domknięty? Trochę to dziwne, ale ok. Brzeg ℛ x ℕ, j) nie jest zwarty (rzeczywiste nieograniczone), wnętrze ℛ x (0, ∞) (nie wiem czemu tam wyskoczył mi ∅), przy brzegu trochę się gubię... bo brzeg ℛ jest zbiorem pustym, więc czy brzeg czegoś z iloczynem kartezjańskim z ℛ nie będzie pusty? Poszukałam jakiś wskazówek w internecie, jednak znalazłam coś tylko dla produktu dwóch zbiorów domkniętych... nie miałam jeszcze nic na wykładzie, więc bazuje na minimum..., k) wnętrze to ∅, brzeg [0,1] x ℛ, l) nie jest domknięty, nie jest zwarty, wnętrze ∅, brzeg ℛ², m) wnętrze ∅, brzeg ℛ x ℛ. Dziękuję i proszę o dalsze wskazówki

Adamm: c) jest domknięty g) a co jak x = 0 ? h) jak wyżej i) to iloczyn zbioru domkniętego i domkniętego jest domknięty j) brzeg to domknięcie bez wnętrza, jakie jest domknięcie zbioru domkniętego? k) brzeg dalej źle m) brzeg źle

Nancy14: No to kolejne podejście... g) w x=0 nie ma granicy, oscylacje się "zagęszczają"... teraz widzę, że wnętrze to jednak ∅, brzeg zatem będzie równy dopełnieniu. No dobra, więc to chyba będzie {(x,y)∊ℛ ² : x ≠ 0 ∧ y = sin(1/x)} ∪ {(0,y) : y∊[−1,1]} (oscylacje), h) on chyba jednak ani otwarty, ani domknięty nie jest. Gęsty, zwarty też nie. Wnętrze ∅, brzeg {(x,y) ∊ℛ² : x ≠ 0 ∧ y = 1/x} ∪ {(0,y) : y ∊ ℛ} (choć ten drugi człon piszę z niepewnością), i) rzeczywiście teraz się wyjaśniło , j) domknięcie zbioru domkniętego to ten zbiór, czyli domknięcie to ℛ x [0, ∞), wnętrze to ℛ x (0,∞). Ale co dalej? Nie wiem co z ℛ, k) brzeg [0,1] x {0}, m) brzeg ℛ x {0}

Adamm: g, h) po prostu nadal nie rozumiem zapisu j) teraz odejmij wnętrze od domknięcia

Nancy14: g) i h) to po prostu zbiory punktów, które należą do wykresów y = sin(1/x) i y = 1/x... chyba tak najprościej sobie to wyobrazić. j) Ok, czyli brzeg ∅?

Adamm: to co w takim razie gdy x = 0 ? brzeg źle

Maureen: Znalazłam coś takiego, wydaje się ok, po prostu trzeba spojrzeć na wykres i dodać jakieś brakujące części w 0... https://math.stackexchange.com/questions/2234195/is-the-set-defined-by-y-sin1-x-open-or-closed No to się pogubiłam... mam przecież tam ℛ i ℛ, coś chyba źle rozumuję

Nancy14: Nick się zmienił, ale to nadal ja zaryzykuję, bo inne pomysły mi się wyczerpały... brzeg ℛ x {0}?

Adamm: Teraz brzeg dobrze. Pytanie nadal brzmi, jak interpretować przykłady h i g. Przecież te funkcje nie są określone dla x = 0.

Nancy14: Niby tak, ale wiemy mniej więcej co się dzieje w 0... sin(1/x) się zagęszcza, stąd tam dodajemy w dopełnieniu ten drugi zbiór. I chyba analogicznie w przypadku 1/x, patrzymy co się dzieje w 0. Ćwiczenia mam dopiero w następnym tygodniu, więc trudno powiedzieć mi coś więcej o tym, poza tym, co da się wyczytać i internecie...

Nancy14: Zapomniałam jeszcze od dwóch przykładach 1) dowolna płaszczyzna w ℛ³: ani domknięta, ani otwarta, nie jest zwarta ani gęsta, wnętrze to ta płaszczyzna, brzeg ∅, 2) dowolna elipsoida w ℛ³ (domyślam się, że chodzi o powierzchnię): domknięta, nie jest otwarta, zwarta, nie jest gęsta, wnętrze ∅, brzeg to ta elipsoida.

Nancy14: Wróć, wnętrze płaszczyzny ∅, brzeg... chyba ℛ³

Adamm: 1) domknięta jest, wnętrze ∅, a brzeg?

Nancy14: brzeg to ta płaszczyzna