Równanie diofantyczne Witcher77: Znajdź wszystkie trójki (a,b,c) ∊ N³ takie, że a⁶+2b⁶=4c⁶ Wiem, że należy rozpatrzeć parzystość tych liczb.

Blee: 1) wiemy, że a jest liczbą parzystą (bo dwie pozostałe są parzyste) a = 2k a⁶ = 2⁶k⁶ = 64k⁶ a⁶ + 2b⁶ = 4c⁶ ⇔ 64k⁶ + 2b⁶ = 4c⁶ ⇔ 32k⁶ + b⁶ = 2c⁶ 2) wiemy, że a jest liczbą parzystą (bo dwie pozostałe są parzyste) b = 2j b⁶ = 2⁶j⁶ = 64j⁶ 32k⁶ + 64j⁶ = 2c⁶ ⇔ 16k⁶ + 32j⁶ = c⁶ 3) wiemy, że a jest liczbą parzystą (bo dwie pozostałe są parzyste) c = 2l c⁶ = 2⁶l⁶ = 64l⁶ 16k⁶ + 32j⁶ = 64l⁶ ⇔ k⁶ + 2j⁶ = 4l⁶ jak widzisz ... wróciliśmy do pierwotnego równania i możemy postępować dalej identycznie w efekcie możemy wysnuć hipotezę, że: a = 2^d ; b = 2^e ; c = 2^f i ją udowodnić niewprost pokazując, że w przeciwnym razie prędzej czy później dojdzie do sytuacji gdy będziemy mieli w równaniu dwie liczby parzyste i jedną nieparzystą tak więc mamy równanie: 2^6d + 2^6e+1 = 2^6f+2 możemy przekształcić to równanie trochę ... (*) w efekcie otrzymamy, że to równanie będzie spełnione tylko wtedy (dla a≠0, b≠0, c≠0) gdy: 6d = 6e+1 co z kolei jest niemożliwe do spełnienia więc jedynym rozwiązaniem będzie a = b = c = 0 Daj znać jeżeli nie będziesz umiał dojść do wniosku (*)

Witcher77: Dziękuję, ale dlaczego akurat a = 2^d ; b = 2^e ; c = 2^f ? Skoro a=2k to dla k=3 mamy a=6 co nie da się zapisać jako a=2^d prawda ?

Blee: bo później dochodzimy do sytuacji k⁶ + 2j⁶ = 2l⁶ i ponawiamy tę samą argumentację −−− k musi być parzyste ... później j musi być parzyste ... później l musi być parzyste więc a = 2²*coś ; b = 2²* coś innego ; c = 2² * jeszcze coś innego i znowu dostaniemy to samo równanie i znowu i znowu i znowu ... tak w nieskończoność

Witcher77: Ok, już rozumiem

Adamm: @Blee zły wniosek wniosek jest taki, że a, b, c są podzielne przez 2ⁿ dla każdego n zatem a = b = c = 0

wredulus_pospolitus: Adamm ... sytuację a=b=c=0 po prostu rozpatrywałem osobno (a jako, że jest trywialna to nawet o niej nie pisałem) całe rozumowanie było przeprowadzane dla niezerowych rozwiązań

Adamm: Jeśli liczbę a da się podzielić przez dowolnie dużą liczbę, to a = 0. Z tego wystarczy tu skorzystać.