liczby salamandra: Liczba naturalna ma dokładnie cztery dzielniki naturalne, a ich suma jest równa s. Znajdź tę liczbę, jeśli s=56, s=40 Nie rozumiem podpowiedzi, że n=pq, gdzie p i q są liczbami pierwszymi, a później jest rozpisane na 1+p+q+pq

ite: A jakie dzielniki ma liczba pierwsza (i każda inna liczba również) ?

salamandra: 1 i samą siebie

Blee: rozpisane na 1+p+q+pq jest SUMA DZIELNIKÓW natomiast sama liczba jest postaci p*q (bo taka własnie liczba ma dzielniki: 1, p, q, p*q) gdzie oczywiście p i q to liczby pierwsze

salamandra: bo jakby nnie były to liczby pierwsze to mogłoby być więcej dzielników?

Blee: dokładnie

Blee: jeszcze jest jedna możliwość (o której nie piszą w podpowiedzi) n = p³ wtedy masz dzielniki: 1, p, p², p³

salamandra: weźmy 8: dzielniki naturalne: 1,2,4,8 8=2*4 (1,2,4,8), weźmy 12: dzielniki naturalne: 1,2,3,4,12 12=3*4 (1,3,4,12) no teraz powiedzmy, że widzę

salamandra: Blee, napisali, ale tego nie pisałem, bo to w ogóle była dla mnie czarna magia, już to pierwsze bardziej do mnie przemawiała

Blee: ogólnie (chociaż teraz raczej wykraczam poza materiał szkoły średniej) każdą liczbę (naturalną) można zapisać w postaci: n = p₁^a₁*p₂^a₂*.....*p_n^a_n*... gdzie p₁, ...., p_n, ... to kolejne liczby pierwsze natomiast a₁, .... , a_n, ... pokazuje nam 'ile razy' występuje dana liczba pierwsza w rozkładzie (uwaga −−− a_i ∊ N w tym także a_i = 0 <−−− przeważnie) wtedy liczba dzielników liczby n będzie równa (a₁+1)*(a₂+1)*....*(a_n+1)*....

Mila: Np. liczba 6=2*3 liczba 4 dzielniki naturalne {1,2,3,6} liczba 12=2²*3 ma (2+1)*2=6 dzielników naturalnych Zatem szukana liczba w rozkładzie na czynniki pierwsze jest iloczynem dwóch liczb pierwszych. S=56 56=1+p+q+p*q=(1+p)+q*(1+p)=(1+p)*(1+q) 56 jest liczbą parzystą ,to p+1, q+1 są parzyste 1+p=4 i 1+q= 14 p=3 i q=13 spr. 1+3+13+3*13=17+39=56

Mila: czyli liczba = p*q=3*13=39. D₃₉={1,3,13,39}

salamandra: Milu, a dlaczego skoro 56 jest parzystą, to p+1,q+1 również? Ja to rozbiłem tak (q+1)(p+1)=4*14 q+1=4 i p+1 = 14 q=3 i p = 13 x=39 (q+1)(p+1)=8*7 q+1=8 i p+1=7 q=7 i p=6 x=42 Dlaczego tego drugiego warunku już nie mogę wziąć pod uwagę? (wiem, że mogę sprawdzić, że ma więcej, ale ty już go "z góry" nie brałaś pod uwagę)

Mila: Możesz , ale odpada, bo 6 nie jest liczba pierwszą i liczba 42 ma 8 dzielników naturalnych. Jeżeli p+1 jest nieparzysta to p jest liczbą parzystą , a tylko jedna liczba pierwsza jest parzysta to jest 2 . Jeżeli znalazłbyś przypadek , że p=2 i drugi czynnik jest liczbą pierwszą to byłoby dobrze. Możesz rozważyć wszystkie możliwe iloczyny, w tym jedna tylko parzysta (1+p) albo (1+q)

salamandra: No tak po prostu warto na koniec sprawdzić i tyle, i wszystko będzie jasne dzięki