stereometria salamandra: Dwie skośne względem siebie krawędzie ostrosłupa trójkątnego mają dlugosc równą b, pozostałe krawędzie mają długość równą a. Oblicz objętość ostrosłupa. Te skośne to będą te czerwone?

Mila: Tak

salamandra: a skośne to nie są takie, które nie leżą na jednej płaszczyźnie? bo teraz patrzę, że przecież obie te krawędzie leżą na podstawie (na jednej płaszczyźnie)?

salamandra: Dobra mam tak z tw. Pitagorasa w ΔABC

	1
(		b)2+h2=a2 (zauważam, że to równoramienny)
	2

	1
h2=a2−		b2
	4

	1		4a2−b2		√4a2−b2
h=√a2−		b2 = √		=
	4		4		2

	√4a2−b2   b*   2		b*√4a2−b2
Pp=		=
	2		4

Nie wiem jak wyznaczyć wysokość ostrosłupa

Mila: To chyba będzie trudne zadanie dla Ciebie . To jest czworościan równościenny, łatwo obliczyć objętość , jeśli go wpiszemy w prostopadłościan o podstawie kwadratowej. Gotowy na ćwiczenie wyobraźni? Czy liczysz tradycyjnie?

salamandra: Może tradycyjnie, a jutro chętnie poznam tę drugą opcję

Mila: cd. Twoich obliczeń |OE|=e 1) Tw. Pitagorasa dwa razy: w ΔSOE i ΔSOA H²=h²−e² b²=H²+(h−e)²⇔H²=b²−(h−e)² Porównanie: b²−(h−e)²=h²−e² oblicz e 2) Jeszcze raz tw. P. W SOE

Mila: Objętość czworścianu ABCS= V prostopadłościanu − objętość 4 naroży Vpr.=c²*h

	1		1		1
VABCS=c2*h−4*		*		c2*h=		c2*h
	3		2		3

	b
b=c√2⇔c=
	√2

h=√a²−c²=√a²−b²/2= ===================

	1		b
VABCS=		*(		)2*√a2−b2/2
	3		√2

	b2*√4a2−2b2
VABCS=
	12

========================

salamandra: b²−(h−e)²=(h−e)(h+e) / : (h−e) b²−(h−e)=h+e b²=2h+2e b²−2h=2e /: 2

	1
e=		b2−h
	2

H²=h²−e² H²=(h−e)(h+e)

	√4a2−b2		1		√4a2−b2
H2=(		−(		b2−		))*
	2		2		2

	√4a2−b2		1		√4a2−b2
(		+(		b2−		))
	2		2		2

to jest w ogóle dobrze? bo oczopląsu tu dostaje

Mila: Porównanie: b²−(h−e)²=h²−e² b²−h²+2eh−e²=h²−e² b²−h²+2eh=h² b²+2eh=2h² 2eh=2h²−b²

	2h2−b2
e=
	2h

	2a2−(1/2)b2−b2
e=
	√4a2−2b2

licz dalej, mówiłam, że tak będzie z tymi rachunkami.

salamandra: Nie wiem, chyba nie potrafię tego rozwiązać, już tyle prób podjąłem i ciągle jakieś błędy, już nawet nie myślę: ciąg dalszy Twoich:

	2h2−b2
e=
	2h

W ΔSOE e²+H²=h²

	2h2−b2
(		)2+H2=h2
	2h

4h4−4b2h+b4
	+H2=h2
4h2

	4h4−4b2h+b4
H2=h2−
	4h2

	4h4−4h4−4b2h+b4
H2=
	4h2

	−4b2h+b4
H2=
	4h2

Nie chciałem na razie podstawiać "h", bo byłoby jeszcze ciezej to liczyć, ale jak widać, już tutaj pojawia się jakaś komplikacja.

Mila: No właśnie i tu jest problem. Zostaw te koszmarne rachunki i analizuj sposób z 23:49.

Mila: Tradycyjnie prościej będzie obliczyć P_AES na dwa sposoby i porównać; h masz obliczone; h²=a²−b²/4 h=√a²−b²/4 h₁=√h²−b²/4

1		1
	*b*√h2−b2/4=		*h*H
2		2

b*√a²−b²/2=(√a²−b²/4)*H

	b*√a2−b2/2
H=
	√a2−b2/4

H=b*√(4a²−2b²)/(4a²−b²) i już jesteś w domu.

a@b: I o to chodzi Pozdrawiam niestrudzoną Milę

Mila: Dziękuję .Też pozdrawiam. Na maturę salamandra ma z naszą pomocą osiągnąć szczyt formy.

jaros: salamndra to jakiś olimpijczyk?

an: wg rys @Mila 23:26 Pole przekroju

	b		b2		b2		b
PAES=		√(a2−		−		)=		√4a2−2b2
	2		4		4		4

ten przekrój jest podstawą dwu jednakowych ostrosłupów o wysokości b/2

	1		b		b		b2
V=2*		*		*		√4a2−2b2}=		√4a2−2b2
	3		2		4		12

Mila: Tego nie zauważyłam Zwykle wpisuję w prostopadłościan. A jak będzie wg Ciebie , gdy krawędzie skośne parami równe? a,a, b,b, c,c Ja obliczę po wpisaniu w prostopadłościan o krawędziach ( x,y, z) różnej długości.

salamandra: Podejmuję ostatnią próbę do tego zadania

salamandra:

	1
(		b)2+h2=a2
	2

1
	b2+h2=a2
4

	1
h2=a2−		b2
	4

	1		√4a2−b2
h=√a2−		b2 =
	4		2

w ΔAKS AK=h TK=h1

	1
(		b)2+h12=h2
	2

1		1
	b2+h12=a2−		b2
4		4

	1
h12=a2−		b2
	2

	1
h1=√a2−		b2
	2

	1		1
P1=		*b*√a2−		b2
	2		2

	1		1
P2=		*h*H= √a2−		b2*H
	2		4

1		1		1		1
	*b*√a2−		b2=		*h*H= √a2−		b2*H
2		2		2		4

1		1		1		1
	*√a2−		b2*H=		*b*√a2−		b2 / * 2
2		4		2		2

	1   b√a2− b2   2
H=
	1   √a2− b2   4

	1   b*√a2− b2   4
Pp=
	2

	1		1   b*√a2− b2   4		1   b√a2− b2   2
V=		*		*		=
	3		2		1   √a2− b2   4

	1		1		1		√4a2−2b2		1
=		b2*√a2−		b2 =		*b2*		=		b2√4a2−2b2
	6		2		6		2		12

Mila: Objętość czworościanu równościennego o krawędziach skośnych parami równych: a,a, b,b, c,c . V_ABCDEFGH=x*y*z

	1		1		1
VnarożaAFCB=		*		xyz=		xyz
	3		2		6

	1		1
VHFCA=xyz−4*		xyz=		xyz
	6		3

tu już więcej rachunków: a²=x²+y² b²=x²+z² c²=y²+z²

	c2+b2−a2
z2=
	2

	a2+b2−c2
x2=
	2

	a2+c2−b2
y2=
	2

	√(c2+b2−a2)*(a2+b2−c2)*(a2+c2−b2)
VHFCA=
	6√2

Może ktoś zweryfikować obliczając innym sposobem?

Mila: salamandra , policzyłeś!