Dowód Cauchego Początkujący: Dana jest funkcja określona w zbiorze liczb rzeczywistych, o której wiadomo, że f(x+y) = f(x) + f(y) oraz f(1) = 1. Udowodnij, że f(x) = x dla dowolnego x należącego do rzeczywistych

jc: Nie było jakiś dodatkowych założeń? np. że funkcja jest ciągła lub że przyjmuje wartości dodatnie dla dodatnich argumentów.

Początkujący: Jest założenie, że funkcja jest ciągła faktycznie, nie napisałem

jc: Pokaż, że f(x)=x dla wymiernych x. Liczby niewymierne możesz przybliżać ułamkami. Dlatego jeśli funkcja jest ciągła, to równość zachodzi dla wszystkich liczb.

Początkujący: Udowodniłem, że f(1) = 1 f(1/4) = 1/4 f(1/2) = 1/2 itd To powinno wystarczyć?

jc: m,n>0

	m
f(n*		)=f(m)=m
	n

	m		m
f(n*		)=n*f(		)
	n		n

	m		m		m
czyli m=n*f(		), a stąd f(		)=
	n		n		n

f(0)=0, dlaczego? f(−x)=−f(x), dlaczego? wniosek, dla f(x)=x fla każdej liczby wymiernej x.