probabilistyka Grecco: Niech (ξ_n)_n=1^∞ będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym na przedziale (0, 1). Ustalmy p∊(0, 1).definujemy zmienną losową θ(ω) = inf{n: ξ_n(ω)>1−p}, a następnie zmienną losową μ(ω) = max{ξ_i(ω): 0≤i≤θ(ω)−1}. Przyjmujemy ξ₀≡0. Oblicz Eμ.

Adamm: Eμ = ∑_k E[μ | θ = k]P(θ = k) P(θ = k) = P(ξ_i ≤ 1−p, 0≤i≤k−1, ξ_k > 1−p) = (1−p)^k−1p, k≥1, E[μ | θ = k] = E[max{ξ_i(ω): 0≤i≤k−1}] = 0 dla k = 1, ∫₀¹...∫₀¹ max(x₁, ..., x_k−1) dx₁...dx_k−1 dla k≥2. ∫₀¹ (max(x₁, ..., x_k−1))^m dx₁ = ∫₀^{max(x₁, ..., x_k−2)} (max(x₁, ..., x_k−2))^m dx₁ + ∫_{max(x1, ..., xk−2)}¹ x₁^m dx₁ = 1/(m+1)+m(max(x₁, ..., x_k−2))^m+1/(m+1) Niech f(k−1, m) oznacza poprzednią funkcję, a J całkowanie od 0 do 1.

	1		m
Wtedy Jf(k, m) =		+		f(k−1, m+1), f(0, m) = 0
	m+1		m+1

(trochę nieformalnie dla prostoty zapisu)

	1		1
Jk−1f(k−1, 1) =		+		Jk−2f(k−2, 2) =
	2		2

	1		1		1
=		+		+		Jk−3f(k−3, 3) =
	2		2*3		3

	1		1		1
=		+		+ ... +		= 1−1/k
	2		2*3		(k−1)k

	1
Zatem E[μ | θ = k] = 1−		i
	k

	pln(p)
Eμ = ∑k (1−1/k)(1−p)k−1p = 1 +
	1−p

Adamm: Gwoli ścisłości, P(θ = ∞) ≤ P(ξ_i ≤ 1−p, 0≤i≤N) = (1−p)^N→0.