Rozwiąż równanie różniczkowe Mariusz: ( x−1)y"−(3x−2)y'+2xy=0 Jak rozwiązalibyście to równanie różniczkowe ? Jeden chciał użyć szeregu potęgowego ale czy naprawdę szereg potęgowy jest aż taki potrzebny ?

piotr: może Laplace'm potraktować

Mariusz: Dałoby radę ? Tak naprawdę to łatwo zgadnąć całkę szczególną Całkę szczególną można przewidzieć w ten sam sposób co dla równania o stałych współczynnikach

Mariusz: Spróbujmy co by wyszło rozwinięciem Laplace L(y⁽ⁿ⁾(x))=∫₀^∞y⁽ⁿ⁾(x)e^−sx L(y⁽ⁿ⁾(x))=y⁽ⁿ⁻¹⁾(x)e^−sx|₀^∞−∫−sy⁽ⁿ⁻¹⁾(x)e^−sxdx L(y⁽ⁿ⁾(x))=0−y⁽ⁿ⁻¹⁾(0⁺)+s∫y⁽ⁿ⁻¹⁾(x)e^−sxdx L(y''(x))=−y'(0⁺)+s(−y(0⁺)+sY(s)) L(y''(x))=−y'(0⁺)−sy(0⁺)+s²Y(s) L(y'(x))=−y(0⁺)+sY(s)

	d
xL(y''(x))=−		(−C2−sC1+s2Y(s))
	ds

	d
xL(y'(x))=−		(−C1+sY(s))
	ds

xL(y''(x))=−(−C₁+2sY(s)+s²Y'(s)) xL(y'(x))=−(Y(s)+sY'(s)) xL(y''(x))=C₁−2sY(s)−s²Y'(s) xL(y'(x))=−Y(s)−sY'(s) xL(y(x))=−Y'(s) (xy''−3xy'+2xy)−(y''−2y')=0 (C₁−2sY(s)−s²Y'(s)+3Y(s)+3sY'(s)−2Y'(s))−(−C₂−sC₁+s²Y(s)−(−C₁+sY(s)))=0 C₁−(2s−3)Y(s)−(s²−3s+2)Y'(s)+C₂+sC₁−s²Y(s)−C₁+sY(s)=0 −(s²+2s−3)Y(s)+sY(s)−(s²−3s+2)Y'(s)=−C₂−sC₁ −(s²+s−3)Y(s)−(s²−3s+2)Y'(s)=−C₂−sC₁ (s²−3s+2)Y'(s)+(s²+s−3)Y(s)=C₂+sC₁ (s²−3s+2)Y'(s)+(s²+s−3)Y(s)=0 (s²−3s+2)Y'(s)=−(s²+s−3)Y(s)

Y'(s)		s2+s−3
	=−
Y(s)		s2−3s+2

Y'(s)		−s2−s+3
	=
Y(s)		s2−3s+2

Y'(s)		−s2+3s−2−4s+5
	=
Y(s)		s2−3s+2

Y'(s)		−4s+5
	=−1+
Y(s)		(s−2)(s−1)

Y'(s)		3		1
	=−1−		−
Y(s)		s−2		s−1

ln|Y(s)|=−s−3ln|s−2|−ln|s−1|+ln|C|

	e−s
Y(s)=C
	(s−2)3(s−1)

	e−s
Y(s)=C(s)
	(s−2)3(s−1)

	e−s
Y'(s)=C'(s)		+
	(s−2)3(s−1)

	−e−s(s−2)3(s−1)−e−s(3(s−2)2(s−1)+(s−2)3)
C(s)(		)
	(s−2)6(s−1)2

	e−s
Y'(s)=C'(s)		+
	(s−2)3(s−1)

	−e−s(s−2)3(s−1)−e−s((s−2)2(4s−5)
C(s)(		)
	(s−2)6(s−1)2

	e−s
Y'(s)=C'(s)		+
	(s−2)3(s−1)

	−e−s(s−2)(s−1)−e−s(4s−5)
C(s)(		)
	(s−2)4(s−1)2

	e−s
Y'(s)=C'(s)		+
	(s−2)3(s−1)

	−e−s((s2−3s+2)+(4s−5)
C(s)(		)
	(s−2)4(s−1)2

	e−s		−e−s(s2+s−3)
Y'(s)=C'(s)		+C(s)(		)
	(s−2)3(s−1)		(s−2)4(s−1)2

	e−s		−e−s(s2+s−3)
(s2−3s+2)(C'(s)		+C(s)(		))
	(s−2)3(s−1)		(s−2)4(s−1)2

	e−s
+(s2+s−3)C(s)		=C2+sC1
	(s−2)3(s−1)

	e−s		e−s(s2+s−3)
C'(s)		−C(s)
	(s−2)2		(s−2)3(s−1)

	e−s
+(s2+s−3)C(s)		=C2+sC1
	(s−2)3(s−1)

	e−s
C'(s)		=C2+sC1
	(s−2)2

C'(s)=(s−2)²(C₂+sC₁)e^s C'(s)=(C₁(s³−4s²+4s)+C₂(s²−4s+4))e^s C(s)=C₁∫(s³−4s²+4s)e^sds+C₂∫(s²−4s+4)e^sds C(s)=C₁((s³−4s²+4s)e^s−∫(3s²−8s+4)e^s)+C₂((s²−4s+4)e^s−∫(2s−4)e^sds) C(s)=C₁((s³−4s²+4s)e^s−∫(3s²−8s+4)e^s) +C₂((s²−4s+4)e^s−(2s−4)e^s+2e^s) C(s)=C₁((s³−4s²+4s)e^s−(3s²−8s+4)e^s+∫(6s−8)e^s) +C₂((s²−6s+10)e^s) C(s)=C₁((s³−7s²+12s−4)e^s+∫(6s−8)e^s) +C₂((s²−6s+10)e^s) C(s)=C₁((s³−7s²+12s−4)e^s+(6s−8)e^s−6e^s) +C₂((s²−6s+10)e^s) C(s)=C₁((s³−7s²+18s−18)e^s +C₂((s²−6s+10)e^s)

	e−s
Y(s)=C(s)
	(s−2)3(s−1)

C(s)=C₁((s³−7s²+18s−18)e^s +C₂((s²−6s+10)e^s)

	s3−7s2+18s−18		s2−6s+10
Y(s)=C1		+C2
	(s−2)3(s−1)		(s−2)3(s−1)

	e−s
+C
	(s−2)3(s−1)

jc: y=e^kx (x−1)k²−(3x−2)k+2x=0 −k²+2k=0 k²−3k+2=0 k=2 y=e^2x u drugie rozwiązanie (x−1)(yu'−uy')' + 2x(yu'−uy')=0 (x−1)w'+2xw=0 w=√xe^−x2/2 yu'−uy'=w (u/y)' = y² w itd. (może coś po drodze pomyliłem.

jc:

	e−2x
w=
	(x−1)2

	e2x
(u/y)'=
	(x−1)2

	e2x
u=e−2x∫		dx
	(x−1)2

Mariusz: jc ja właśnie w ten sposób rozwiązałem Zasugerowałem to rozwiązanie we wpisie z 20 lut 2020 12:17 ale chciałem sprawdzić co wyjdzie z pomysłu Piotra

Mariusz: jc ty chyba coś w obliczeniach pomyliłeś W trzeciej i czwartej linijce masz układ równań ? Pierwsze rozwiązanie jest dobre Znajdując drugie rozwiązanie coś w rachunkach pomyliłeś Ja obniżyłem rząd jednym podstawieniem (x−1)(yu'−uy')' + 2x(yu'−uy')=0 (x−1)w'+2xw=0 Co tutaj się stało ? Wyjściowe równanie wyglądało tak ( x−1)y"−(3x−2)y'+2xy=0 w=√xe^−x2/2 Czy aby na pewno w jest dobrze policzone

jc: Źle, potem się poprawiłem. Ale i tak wydaje się, że ostateczny wynik nie wyrazi się przez szkolne funkcje.

Mariusz: Chcesz się założyć ? Nawet to co poprawiłeś jest błędne No to jeszcze raz ( x−1)y"−(3x−2)y'+2xy=0 y=e^kx (x−1)k²e^kx−(3x−2)ke^kx+2xe^kx=0 (x−1)k²−(3x−2)k+2x=0 (k²−3k+2)x−(k²−2k)=0 k²−3k+2=0 k²−2k=0 k=2 y₁=e^2x Do tej pory miałeś dobrze y=y₁u ( x−1)y"−(3x−2)y'+2xy=0 (x−1)(y₁u'+y₁'u)'−(3x−2)(y₁u'+y₁'u)+2xy₁u=0 (x−1)(y₁u''+y₁'u'+y₁'u'+y₁''u)−(3x−2)(y₁u'+y₁'u)+2xy₁u=0 (x−1)y₁u''+2y₁'(x−1)u'+u((x−1)y₁'')−(3x−2)y₁u'+u(−(3x−2)y₁')+u(2xy₁)=0 (x−1)y₁u''+2y₁'(x−1)u'−(3x−2)y₁u'+((x−1)y₁''−(3x−2)y₁'+2xy₁)u=0 (x−1)y₁''−(3x−2)y₁'+2xy₁=0 ponieważ y₁ jest całką szczególną równania (x−1)y₁u''+2y₁'(x−1)u'−(3x−2)y₁u'=0 (x−1)y₁u''+4y₁(x−1)u'−(3x−2)y₁u'=0 (x−1)u''+4(x−1)u'−(3x−2)u'=0 (x−1)u''+(4x−4−3x+2)u'=0 (x−1)u''+(x−2)u'=0 w=u' (x−1)w'+(x−2)w=0 (x−1)w'=−(x−1−1)w

w'		x−1−1
	=−
w		x−1

dw		1
	=(−1+		)dx
w		x−1

ln|w|=−x+ln|x−1| w=(x−1)e^−x u'=(x−1)e^−x u=−(x−1)e^−x−∫−e^−xdx u=−(x−1)e^−x−e^x u=−xe^−x+e^−x−e^x u=−xe^−x a zatem drugie rozwiązanie to y₂=−xe^−xe^2x y₂=−xe^x −1 to stała więc całka ogólna równania to y=C₁e^2x+C₂xe^x

Mariusz: ( x−1)y"−(3x−2)y'+2xy=0 Równanie znalazłem w komentarzach do pewnego filmu na youtube i jak wcześniej pisałem koleś chciał rozwiązywać z użyciem szeregu potęgowego ale ja zauważyłem że łatwo przewidzieć całkę szczególną równania i że można ją przewidzieć w ten sam sposób co dla równania o stałych współczynnikach

jc: Pewnie przykład był tak dobrany, aby łatwo poszło. Wystarczyłby trochę zmienić i by się nie udało.

Mariusz: Z tymi szeregami to nie wiem jak znaleźć wzór na n. wyraz szeregu Jeden coś wspominał o symbolu Pochhammera który może być wyrażony ilorazem funkcyj Γ ale nie umiał pokazać i odpowiednio skomentować tego sposobu wyrażania tego n. wyrazu za pomocą symbolu Pochhammera