Zbadać własności funkcji Mokry: Zbadać własności funkcji: f(x) = (2x² −2) * exp(−x/2) te wszystkie punkty przegiecia itp. to wiem jak zrobic. Ale w sumie mam problem z tym: Zad. 1 Jedno stwierdzenie jest błędne: a) f(x) jest funkcja rzeczywista b) R nie jest przeciwdziedziną funkcji c) R jest dziedziną funkcji d) f(x) nie jest odwzorowaniem e) f(x) nie jest wzajemnie jednoznaczna Zad 2. Jedno ze stwierdzeń jest błedne. Funkcja f(x) jest: a) periodyczna b) nieujemna c) cyklometryczna d) wykladnicza e) ograniczona f) zadne z określeń nie pasuje

Blee: (a) na pewno jest poprawne (b) odpowiedź poznasz po zbadaniu przebiegu zmienności funkcji (a raczej granic w ±∞ ze względu na dziedzinę funkcji) (c) no jest −−− żaden 'x' Ci nie wypada z dziedziny (d) no jest (e) odpowiedź poznasz po zbadaniu przebiegu zmienności funkcji (zapewne nie jest −−− zapewne nie będzie ona różnowartościowa)

Blee: 2. (b) <−−− niech x = 0 ... wtedy masz f(0) = −2*e⁰ = −2 a wtedy posiłkując się odpowiedziami z zadania '2' wiemy, że f(x) jest funkcją ograniczoną (bo (e) musi być prawdziwe) w takim razie w zadaniu 1 (b) także jest prawdziwe (przeciwdziedziną nie może być R −−− bo f(x) jest ograniczona) w takim razie 2 (b) (sprawdziliśmy że przyjmuje wartości ujemne) 1 (e) (drogą eliminacji −−− pozostałe podpunkty muszą być prawdziwe)

Blee: tfu ... przecież 1 (d) nie jest prawdą −−− każda funkcja jest odwzorowaniem

Mokry: ok ok, dziekuje. Mam jeszcze jedną kwestie do tego przykładu Mianowicie, Zad 3. Funkcja f(x) jest: a) ciągła w x=−2 i nieciągła w x=2, zatem licze dwie granice i w x=−2 , granica to 6/e , a w x=2 granica = 6e b) nieciagła w punkcie x=−1, licze granice w tym punkcie i wychodzi 0 c) granica x −−> 2 =6 , no to fałsz bo wczesniej wyszło 6e d) ciągła w punkcie x=1 , granica wyszla 0 e) granica x−−−> nieskonczonosc = 0 , tutaj nie wiem jak opanowac f) zadne z tych powyzszych okreslen nie jest poprawne

Blee: f(x) ta sama

Blee: zauważ, że f(x) = (2x² − 2)*e^−x/2 = g(x) * h(x) g(x) = 2x² − 2 <−−− funkcja ciągła w R h(x) = e^−x/2 <−−− funkcja ciągła w R więc f(x) JEST funkcją ciągłą w R (jest to jedna z własności funkcji ciągłej) więc odp (a) , (b) odpadają od razu

Blee: natomiast odpowiedź (d) musi być prawdą jako że funkcja jest ciągła w R, to nie ma potrzeby liczyć granice w punktach, sprawdzamy wartość funkcji w tychże punktach: (c) f(2) = 6*e⁻¹ = 6/e ≠ 6 a co do (e)

	2x2 − 2
limx−>+∞ f(x) = limx−>+∞ (2x2−2)*e−x/2 = limx−>+∞		i
	ex/2

'szpitalem go' dwukrotnie

Blee: ale to wygląda, że zad 3 jest wielokrotnego wyboru

Mokry: Dobra, dzięki, mam jeszcze ostatnie pytanie, bo kurcze nie mam jak sprawdzić odpowiedzi do tego. f(x) zostaje caly czas ta sama. Zad4. Kształt funkcji: a) dla x>0 funkcja monotonicznie rośnie −−− fałsz? bo rośnie w przedziale ( 2−√5 , 2+√5 ) b) f(x) jest funkcja monotonicznie malejącą −−− fałsz ? bo maleje w przedziałach ( −inf ; 2−√5 ) U ( 2+√5 ; inf) c) dla −1 < x < 1 funkcja f(x) maleje i jest wklesła −−−− fałsz? bo f''(x) < 0 dla x(1;7) d) dla − √5 < x < 2+√5 funkcja f(x) rośnie i jest wypukła −−−− prawda? , bo f''(x) > 0 dla x (−inf : 1) U (7 ; inf) no i czesc sie pokrywa z f'(x) > 0 e) f(x) jest wklęsła w otoczeniu punktu x = −1 i wypukła w otoczeniu x = 1 −−−−fałsz ? f) jeśli żadne z tych stwierdzen nie jest prawdziwe to podaj jakikolwiek przedział w którym funkcja jest malejąca i wypukła Dobrze to rozumiem?

Blee: (a) odpada chociażby dlatego, że f(2) = 6/e > 2 ... a lim_x−>+∞ f(x) = 0 (obie rzeczy wiemy z poprzednich zadań) (b) fałsz bo f(0) < 0 ; f(2) = 6/e > 0 ... co wiemy z poprzednich zadań (c) też odpada ... patrz powyżej ( f(0) = −2 ; f(1) = 0 ... więc gdzie na przedziale (0;1) musi zacząć rosnąć) −−− mamy to z poprzednich zadań (d) i (e) do sprawdzenia f(x) = 2x²e^−x/2 − 2e^−x/2 f'(x) = −x²e^−x/2 + 4xe^−x/2 + e^−x/2 = e^−x/2[ −x² + 4x + 1]

	e−x/2		e−x/2
f''(x) =		[ x2 − 8x + 7] =		(x−7)(x−1)
	2		2

więc (e) odpada bo w otoczeniu x=1 mamy punkt przegięcia (z wklęsłej zmienia się w wypukłą bądź na odwrót) natomiast (d) pewnie jest prawdą