Kres górny i dolny zbioru Pytanko: Znajdź kres górny i dolny zbioru

	nm
A = {		| n,m∊ℕ}
	3n2+m2

Bardzo prosiłbym o wytłumaczenie rozwiązania zadania, ponieważ okazało się, że niepoprawnie posługuję się epsilonem i wolałbym bardziej porównać Wasz odpowiedzi niż przedstawiać swoją błędną. Będę wdzięczny za pomoc.

jc:

nm
	>0 dolnym ograniczeniem jest 0.
3n2+m2

Żadna dodatnia liczba a nie jest ograniczeniem dolnym, bo w zbiorze A znajdziemy liczbę mniejszą od a. Wystarczy wziąć n=1 i m>1/a.

m		1
	<		<a
3+m2		m

Zatem kresem dolnym jest zero.

Pytanko: Jc, czy w drugiej linijsce piszesz o ograniczeniu górnym? Najpierw stwierdziłeś, że dolnym ograniczeniem jest 0, następnie, że żadna liczba nie jest ograniczeniem dolnym.

jc: 3n/m +m/n = (√3m/n − √m/n)²+2√3 ≥2√3

	nm		1
Wniosek		≤
	3n2+m2		2√3

Mamy ograniczenie górne. Czy to jest najlepsze ograniczenie? Tak, bo pierwiastek z 3 można dowolnie dobrze przybliżać ułamkami. Mnie takie tłumaczenie wystarczy, ale można by pomyśleć nad jakimś pełniejszym dowodem.

jc: Piszę, że żadna dodatnia liczba nie jest ograniczeniem dolnym. D jest kresem dolnym, jeśli D jest dolnym ograniczeniem zbioru i żadna liczba K>D nie jest już dolnym ograniczeniem, tzn. dla każdej liczby K>D znajdziemy w zbiorze element mniejszy od K.