matematykaszkolna.pl
Całka anastazja:
 sinx 
Czy całkę ∫
da się obliczyć bez podstawienia uniwersalnego?
 sinx+cosx 
16 lut 14:34
Blee: jak się uprzesz to możesz też chociażby tak: 1) sinx + cosx = √2cosx(x − π/4)
 √2 
2) sinx = sin(x−π/4 + π/4) =
(sin(x−π/4) + cos(x−π/4))
 2 
więc
 sinx 1 sin(x−π/4) + cos(x−π/4) 
∫
dx =
∫
dx
 sinx + cosx 2 cos(x−π/4) 
dzielisz na dwie banalne całki
16 lut 14:41
Mariusz: Co nazywasz podstawieniem uniwersalnym ?
 sinx tgx 
∫
dx=∫
dx
 sinx+cosx tgx+1 
 tgx 
=∫
dx
 (tgx+1)(cos2x+sin2x) 
 tgxdx 
=∫
 (tgx+1)(1+tg2x)cos2x 
t=tgx
 t 
∫
dt
 (t+1)(1+t2) 
2t=(t+1)2−(1+t2)
1 (t+1)2−(1+t2) 
∫
dt
2 (t+1)(1+t2) 
 1 t+1 1 dt 
=
∫
−
∫
 2 1+t2 2 1+t 
 1 1 1 
=
ln|1+t2|−
ln|1+t|+
arctan(t)+C
 4 2 2 
 1 1 cosx+sinx 1 
=−
ln|cosx|−
ln|
|+
x+C
 2 2 cosx 2 
 1 1 
=−
ln|sinx+cosx|+
x+C
 2 2 
16 lut 16:56