Suma szeregu Pytanko: Mam problem z zadaniem dotyczącym szeregu: Zbadać zbieżność szeregu i ocenić, czy jego suma jest mniejsza niż 1 ∑n³*9⁻ⁿ

	(n+1)3		9n
Rozwiązuję d'Alembertem		*		, otrzymuję (1+1n)3*19, czyli
	9n+1		n3

|(1+¹_n)³*¹₉|→¹₉<1 ⇒ zbieżny Jak jednak poradzić sobie z oceną sumy? Mam nieskończoną sumę składników dążących do zera, nie wiem, jaką przyjmie wartość.

Blee: zauważ, że

an+1		1		1		1		1
	wyszedł Ci = (1 +		)3*		≤ (1 +		)2n*		≤
an		n		9		n		9

	1		8
≤ e2*		<
	9		9

	8
czyli an+1 <		an (dla każdego n)
	9

	n3		13		8		8
więc ∑		< ∑ (		)*(		)n−1 (czyli a1 * (		)n−1 )
	9n		91		9		9

	1		8
a to jest nic innego jak .... suma ciągu GEOMETRYCZNEGO a1 =		; q =
	9		9

	1/9
S =		= 1
	1/9

Zastanów się przez moment dlaczego zrobiłem szacowanie 3 < 2n a nie po prostu 3 < n

Pytanko: 3<2n potrzebowałeś mocniejszego oszacowania, by uzyskać e². Jednak − pytanie powszechne − jak wpaść na podobny pomysł? Na co należy zwrócić uwagę? Pytanie banalne, dotyczące wzoru:

	1−qn
a1*
	1−q

Po podstawieniu na sumę szeregu:

	1−(89)n
19*		= 1−(89)n
	1−89

Gdzie popełnia podstawowy błąd? Czy liczę granicę i ustalam, że ⁸₉ⁿ → 0? (Dla mnie przypomina →1, czyli różnica →0).

jc:

	6		12		7		1
x+23x2+33x3+43x4+...=		−		+		−
	(1−x)4		(1−x)3		(1−x)2		1−x

	531
Dla x=1/9 dostajemy		.
	2048

Blee:

	a1
1) S =		<−−− wzór na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego
	1−q

	8
A nawet jeżeli tak na to spojrzysz to przecież 1 − (		)n < 1 ... co kończy zadanie
	9

Pytanko: Natomiast jak skomentowałbyś znalezienie intuicji oszacowania 3<2n?

Blee: 3 < 2n spełnione jest dla n ≥ 2

	1		8		8
dla n = 1 mamy a1 =		; a2 =		= a1*		czyli zachodzi równość
	9		92		9

	8
stąd mamy pewność że (ostateczne) szacowanie an+1 ≤		an jest spełnione dla
	9

każdego n

	8
natomiast dodatkowo wiemy, że ∑n ai < ∑n a1*		dla n ≥ 3 (a dla n=1 i n=2 zachodzi
	9

równość tutaj)

Blee:

	8
tam miało być ∑n a1 * (		)i−1
	9

jc:

	(n+1)3		n3		(1+1/n)3		8
an+1/an=		:		=		<		bo 1+1/n≤2.
	9n+1		9n		8		9

	8		1		8		1		8
an < a1*(		)n−1=		*(		)n−1=		(		)n
	9		9		9		8		9

1		8		8		8		1		1
	[		+(		)2+(		)3+...]=		*		=1
8		9		9		9		9		1−8/9

Pytanko: Dzięki