Różniczkowalność funkcji Pytanko: Hej, mam problem z różniczkowalnością funkcji:

	⎧	xae−x2 dla x≥1
f(x) =	⎩	bx x<1 (a≥1)

Liczę granice: lim(x^ae^−x2) = ¹_e x→1⁺ limbx = b x→1⁻ lim(x^ae^−x2) = limbx ⇒ b = ¹_e Jak obliczyć a, by różniczkowalna w x=1? W odpowiedziach jest podane a=3. Ponadto prosiłbym o pomoc w obliczeniu jednostronnych pochodnych.

jc: funkcja h(x)=x²e^−x2 jest różniczkowalna w 1, a więc wszystko pozostanie po staremu, gdy ograniczysz się do x≥0. h'(x)=ax^a−1e^−x2−2x^a+1e^−x2, h'(1)=(a−2)e⁻¹ h(1)=e⁻¹ Teraz g(x)=bx, g(1)=b=g'(1) Mamy dwa warunki: g(1)=h(1), g'(1)=h'(1): b=e⁻¹ b=(a−2)e⁻¹ Należy wybrać: b=e⁻¹, a=3.

jc: druga linia: ... do x≥1.

Pytanko: Cudownie proste. Ale, ale − czy nie powinienem obliczać pochodnej z definicji w przypadku podobnych zadań?

Pytanko: Który zapis jest najlepszy? Czy nie powinniśmy korzystać z granicy? Myślę o najbardziej formalnym rozwiązaniu.

jc: Masz funkcję, powiedzmy h, określoną na R, oraz tą samą funkcję ograniczoną do [1,∞). Wiesz, że h jest różniczkowalna (jako funkcja na R), dlatego istnieją dwie pochodne jednostronne h (w szczególności prawostronna) i są równe pochodnej h.

Pytanko: Dzięki