Nieciągła funkcja Pytanko: Dlaczego funkcja:

⎧	(x−2)log(x2−4) dla |x|>2
⎩	ax+b dla |x|≤2

jest nieciągła zawsze w x=−2? Otrzymujemy po lewej −4*log(0), natomiast dla x=2 w odpowiedziach podano odpowiedź również dla 0*log(0)

eta: Zacytuj dokładnie odpowiedź.

Pytanko: Funkcja ciągła w x=2, gdy b=−2a. //Rozumiem Funkcja nieciągła w x=−2. Funkcja ciągła zawsze, gdy |x|≠2, niezależnie od wartości a, b.

eta: x=−2 nie występuje w dziedzinie logartmu − dlatego nieciągła. Dla pozostałych x≠2 ≠obie fuknkcije w klamrze są określone − dlatego ciągła.

Blee: eta −−− a co to niby ma do tematu x=2 także 'nie występuje' w dziedzinie tego logarytmu Autorze − wynika to z granicy: lim_x−>−2⁻ (x−2)log(x²−4) = lim_x−>−2⁻ −4*log(0⁺) = −4*(−∞) = +∞ lim_x−>−2⁺ ax+b = −2a + b no to powiedz mi ... jakie 'a' i 'b' możesz dobrać, że b − 2a = +∞ to jest NIEMOŻLIWE. I dlatego nie ma ciągłości w x = −2 (jeżeli przynajmniej jedna z granic jest rozbieżna do ±∞ to wtedy tam nie ma ciągłości ... jeżeli obie są rozbieżne do <np.> +∞ to TAKŻE nie ma ciągłości) natomiast w x=+2 masz: lim_x−>2⁺ (x−2)log(x²−4) = [0*(−∞) <−−− symbol nieoznaczony] =

	log(x2−4)		2x   x2−4
limx−>2+		= H = limx−>2+		=
	1/(x−2)		−1   (x−2)2

	2x		(x−2)2		2x*(x−2)
= limx−>2+		*		= limx−>2+		=
	(x−2)(x+2)		−1		−(x+2)

	2*2*0
=		= 0
	−(2+2)

i dlatego 2a+b (czyli wartość granicy lewostronnej) 'ma szansę' być równa granicy prawostronnej w x=2

Pytanko: Dzięki, Blee. Czy można inaczej obliczyć drugą granicę niż d'Hospitalkiem?

Blee: lim (x−2)*ln(x²−4) = (x−2)*[ln(x−2) + ln(x+2)] = (x−2)*ln(x−2) + (x−2)*ln(x+2) → (*) i skorzystać 'ze wzoru' lim{x−>0⁺] x*lnx = 0 (marne to ominięcie 'szpitala', ale zawsze) (*) → 0 + 0*ln4 = 0 + 0 = 0

jc: Hospital to raczej ćwiczenie na różniczkowanie, no może sposób na automatyczne liczenie granic. Równoważnie (ln u)/u →0, przy u→∞. ln u = 2 ln u^1/2 < 2 u^1/2 dalej u>1 0 < (ln u)/u < 2/√u →0