Ciągłość funkcji Pytanko: Mam problem z obliczeniem ciągłości funkcji:

	⎧	sin(x+a) dla x∊(nπ, (n+12)π]
f(x) =	⎩	cos(x+b) dla x∊((n+12)π, (n+1)π	]

Internecie znalazłem tylko proste przykłady z funkcjami liniowymi, dlatego byłbym wdzięczny za przedstawienie sposobu myślenia, metody działania.

Blee: no dobra ... więc mamy: aby funkcja była ciągła to muszą być spełnione warunki: sin(nπ + a) = cos(nπ + b) oraz

	π		π
sin(nπ +		+ a) = cos(nπ +		+ b)
	2		2

Blee: dla dowolnego 'n' oczywiście.

Pytanko: Przyznam, że wcześniej sam napisałem powyższe równości, jednak nie wiedziałem, jak rozwinąć je, ponieważ nie wiedziałem, czy powinienem założyć wartości cos i sin? Albo skorzystać z wzorów redukcyjnych?

Blee: sin(nπ + a) = sin(nπ)cosa + cos(nπ)sina = 0*cosa + ±1*sina = ±sina cos(nπ + b) = cos(nπ)cosb − sin(nπ)sinb = ±1*cosb − 0*sinb = ±cosb czyli sina = cosb drugie równanie podobnie

	π		π		π
sin(nπ +		+ a) = sin(nπ +		)cosa + cos(nπ +		)sina = ±cosa
	2		2		2

	π		π		π
cos(nπ +		+ b) = cos(nπ +		)cosb − sin(nπ +		)sinb = (−1)*±sinb
	2		2		2

czyli cosa = −sinb Więc mamy:

⎧	sina = cosb
⎩	cosa = −sinb

	π
stąd (wzory redukcyjne): b =		+ a
	2

Blee: winno być dobrze ... sprawdź na spokojnie ewentualnie podziel na n = 2k i n = 2k+1 co by nie było znaku ±

Pytanko: W odpowiedziach mam podane: ciągła wszędzie dla a−b = ^π₂+2kπ ciągła w x=nπ, nieciągła w x=(n+¹₂)π dla a+b = ^π₂+2kπ ciągła w x=(n+¹₂)π, nieciągła w x=nπ dla a+b = −^π₂+2kπ Jak odnieść się do odpowiedzi na podstawie Twoich obliczeń?

Blee: oczywiście:

	π
b =		+ a +2kπ <−−− ciągłość w obu punktach
	2

ciągłość w x = nπ wtedy gdy: sin a = cos b ale cos a ≠ −sinb (czyli gdy cosa = sinb)

	π
analogicznie ... ciągłość tylko w x = nπ +		gdy:
	2

sina ≠ cosb (czyli sina = −cosb) oraz cos a = − sinb

Blee: no i zaglądamy do ściągi: https://matematykaszkolna.pl/strona/430.html obie są gdy b = 90^o + a (+2kπ) tylko x = nπ gdy b = 90^o − a (+2kπ)

	π		3
tylko x = nπ +		gdy b = 270o − a (+2kπ) a		π + 2kπ jest równoznaczne z
	2		2

	π
−		+ 2kπ
	2

Pytanko: Czy mógłbyś rozwinąć rozwiązanie z wzorów redukcyjnych? Na podstawie pierwszej linijki napisałby, b−a=... zamiast a−b=... z odpowiedzi. Tak, myślę, że rozpisanie układu równań pomogłoby mi.

Blee: nie bardzo rozumiem czego dokładnie oczekujesz

Pytanko:

⎧	sina = cosb
⎩	cosa=−sinb

sin(^π₂ − b) = cosb a = ^π₂ − b cosa = −sinb cos(^π₂ +b) = −sinb a = ^π₂ +b Po dodaniu a = ^π₂. Nie wiem, gdzie popełniam błąd.

Blee: po pierwsze:

	π		3π
−sinb = cos(		+ b) nie jest jedyną możliwości (także −sinb = cos(		− b)
	2		2

po drugie: tak samo cosb = sin(π/2 − b) nie jest jedyną możliwością (także masz cosb = sin(π/2 +b)) po trzecie ... jak zamieniasz 'sinusa' na 'cosinusa' to w obu przypadkach na ten sam kąt musisz zamienić bo tak Ci wychodzi: a = π/2 − b a = π/2 + b czyli 'a' ma być dwoma różnymi kątami (o ile b≠0 + 2kπ)

Blee: to tak jakbyś miał:

	√2
sina =
	2

	√2
cos a = −
	2

no to

	π
z pierwszego mamy a =
	4

	3π
a z drugiego mamy a =
	4

czyli sprzeczne ... i piszesz wniosek −−− brak rozwiązań (co oczywiście jest nieprawdą)

Blee: reasumując: pierwsze równanie spełnione gdy:

	π		π
a =		− b + 2kπ lub a =		+ b + 2kπ
	2		2

drugie równanie spełnione gdy:

	3π		π
a =		− b + 2kπ lub a =		+ b + 2kπ
	2		2

więc:

	π
oba równania są spełnione gdy: a =		+ b + 2kπ
	2

	π
tylko pierwszej jest spełnione gdy: a =		− b + 2kπ
	2

	3π
tylko drugie jest spełnione gdy: a =		− b + 2kπ
	2

Pytanko: Czyli − jak powinienem ostatecznie rozwiązać? Nie wiem, dlaczego uważasz, że zamieniam na inny kąt, jeżeli za każdym razem wyznaczam a.

Pytanko: Ach, przepraszam, przeoczyłem Twoją odpowiedź.

Pytanko: Dzięki za poświęcony czas, Blee. Naprawdę doceniam.