kombinatoryka kombinatoryka: Wylicz, ile jest rozmieszczeń trzech przedmiotów w trzech pudełkach rozważając wszystkie cztery przypadki dotyczące rozróżnialności. Czy byłby w stanie ktoś wytłumaczyć, jak takie sytuacje wyglądają i jak je poprawnie opisać? Potrafię tylko odpowiedzieć na sytuację, gdy wszystko jest rozróżnialne, to jest odpowiedź to 3³. Ale każdy inny przypadek od zawsze sprawiał mi trudności i czas się tego nauczyć.

Mila: 1) 3 różne kule , 3 różne pudełka 3³ 2) 3 różne kule , 3 identyczne pudełka−liczby Stirlinga II rodzaju

	23−2
S2(3,1)+S2(3,2)+S2(3,3)=1+		+1=5
	2

A możesz tak: Wszystkie kule w jednym pudełku − 1 możliwość

	23−2
lub wszystkie kule w dwóch pudełkach:
	2

lub kule rozłożone po jednej do każdego pudełka− jedna możliwość 3) 3kule identyczne, 3 pudełka różne− kombinacje z powtórzeniami:

3+3−1 3−1		5 2
	=		=10

4) 3 kule identyczne, 3 pudełka identyczne− rozkład liczby 3 na składniki P(3,1)+P(3,2)+P(3,3)=1+1+1=3

Pytający: Widziałem, że już napisałaś Milu, ale może drugi raz to samo nie zaszkodzi. • Pudełka rozróżnialne, przedmioty nierozróżnialne: wtedy liczy się tylko liczba przedmiotów w poszczególnych pudełkach, czyli sposobów jest tyle, ile rozwiązań całkowitych nieujemnych równania: p₁ + p₂ + p₃ = 3 , gdzie p_i oznacza liczbę przedmiotów w i−tym pudełku, a 3 to łączna liczba przedmiotów.

	3 + 3 − 1 3 − 1
Takich rozwiązań jest		i tyle też jest możliwych rozmieszczeń.

• Pudełka nierozróżnialne, przedmioty rozróżnialne: wtedy liczą się jedynie "zestawy" przedmiotów w pudełkach, czyli sposobów jest tyle, ile podziałów 3−elementowego zbioru przedmiotów na maksymalnie 3 (pudełka) podzbiory (niepuste, rozłączne, sumujące się do całego zbioru, jak to w podziale zbioru), tj.: S(3, 1) + S(3, 2) + S(3, 3) https://pl.wikipedia.org/wiki/Rozbicie_zbioru https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_Stirlinga#Liczby_Stirlinga_II_rodzaju • Pudełka nierozróżnialne, przedmioty nierozróżnialne: wtedy liczą się jedynie liczności "grupek" przedmiotów, czyli sposobów jest tyle, ile podziałów liczby 3 (przedmioty) na maksymalnie 3 (pudełka) składniki, tj.: P(3 + 3, 3) http://smurf.mimuw.edu.pl/node/819

kombinatoryka: Hm, co nieco rozjaśnia to sprawę. A skąd pomysł na to, że rozkład wszystkich kul do dwóch pudełek właśnie tak wygląda? Wszystkie kule w jednym pudełku rozumiem − nie rozróżniamy pudełek, więc tak w zasadzie nieważne gdzie wszystkie rozłożymy, to z naszego punktu widzenia zawsze je wsadzamy do tego samego. Identycznie z rozkładem po jednej kuli do każdego. Co do (3) oraz (4), to też już widzę, dlaczego tak

kombinatoryka: Ciekawe, zaraz przeczytam treść w linkach

Pytający: Być może jeszcze to chcesz przeczytać: http://smurf.mimuw.edu.pl/node/818 (zwłaszcza na samym dole).

kombinatoryka: Dziękuję, na pewno będę pytać, gdy czegoś nie zrozumiem

Mila: Teraz rozwiąż ten sam problem dla 6 ciastek i trzech talerzyków

kombinatoryka: Dobrze, spróbuję (1) ciastka i talerzyki są rozróżnialne Każdemu ciastku możemy przyporządkować trzy talerzyki, wobec tego otrzymujemy: 3⁶ (2) ciastka nierozróżnialne, talerzyki rozróżnialne

	6 + 3 −1 3 − 1
Czyli sprawdzamy liczebność przedmiotów w pudełkach:

(3) ciastka rozróżnialne, talerzyki nierozróżnialne Czyli mamy zbiór ciastek i chcemy go rozbić na trzy zbiory, które łącznie dadzą ten zbiór wejściowy. Czyli korzystając z liczb Stirlinga drugiego rodzaju: S₂(6,1) + S₂(6,2) + S₂(6,3) = 1 + 31 + 90 = 122 (4) ciastka nierozróżnialne, talerzyki nierozróżnialne Czyli zliczamy wszystkie podziały liczby 6, w których mamy dokładnie trzy składniki: P(6+3, 3) = 7