Podzielność liczb Spr: Mam problem z wykazaniem podzielności liczby: n⁵−n+5 jest podzielna przez pięć. Niestety, nieustannie potykam się po sprawdzeniu dla n=1 w drugim kroku indukcyjnym. Na pewno istnieje sprytniejszy sposób niż dwumian Newtona dla (k+1)⁵−k+4

Blee: n⁵ − n + 5 = n(n⁴ − 1) + 5 = n(n²−1)(n²+1) + 5 = n(n−1)(n+1)(n²+1) + 5 i teraz: n = 5k −−> n podzielne przez 5 n = 5k+1 −−> n−1 podzielne przez 5 n = 5k+2 n = 5k+3 n = 5k+4 −−−> n+1 podzielne przez 5 zostały Ci dwie możliwe wartości 'n' do podstawienia i sprawdzenia czy wtedy n²+1 będzie podzielne przez 5 (spoiler alert: będzie)

Blee: a jeżeli chcesz z indukcji to zauważ, że:

	5 1		5 2		5 3		5 4
(k+1)5 = k5 +		k4 +		k3 +		k2 +		k + 1

5 j
	jest podzielne przez 5 (dla 5 > j > 0)

Saizou : albo tak n⁵−n jest podzielne przez 5 z MTF zatem n⁵−n+5 jest podzielne przez 5 jako suma dwóch liczb podzielnych przez 5

Spr: Blee, nie rozumiem 5k+1 −−> n−1 podzielne 5k+4 −−> n+1 podzielnie Nie powinno być: 5k+1 −−> n+1 podzielne 5k+4 −−> n−1 podzielnie

Bleee: n = 5k+1 więc n−1 = 5k+1 − 1 = 5k podzielnosc A nie n+1 = 5k+1 +1 = 5k + 2

Spr: Dzięki