wykaż matix: Wykaż że zachodzi równość

Blee: jaki konkurs

Blee: wprowadźmy oznaczenia (będą pomocne): a_n = 222...2222 (n cyfr) b_n = 333...3333 (n cyfr) c_2n = 111.111111 (2n cyfr)

	3
zauważmy dodatkowo, że 3ak = 2bk ... czyli bk =		ak
	2

więc mamy udowodnić, że a_n + b_n² = c_2n indukcyjnie n=1 2 + 3² = 11 n = k a_k + b_k² = c_2k n = k+1 a_k+1 + (b_k+1)² = 10*a_k + 2 + (10*b_k + 3)² = = 10a_k + 100b_k² + 60b_k + 2 + 9 = = 10(a_k + b_k²) + 90b_k² + 60b_k + 11 = // z (2) // = = 10*c_2k + 90b_k² + 60b_k + 11 =

	3
= 10*c2k + 90bk2 + 60*		ak + 11 =
	2

= 10*c_2k + 90b_k² + 90a_k + 11 = // z (2) // = = 10c_2k + 90*c_2k + 11 = = 100*c_2k + 11 = c_2k+2 c.n.w.

a@b: Bez indukcji ( na poziomie 2 kl. liceum ciągi)

	2		2
22=		(102−1) to 22......2(n dwójek) =		(10n−1)
	9		9

	3		1
n trójek 33.....3 =		(10n−1) to (33....3)2=		(10n−1)2
	9		9

	1
2n jedynek 11.....1=		(102n−1)
	9

i lecimy:

	1		1
L=		(2*10n−2+102n−2*10n+1)=		(102n−1)= 11.... 1 −−− 2n jedynek
	9		9

L=P c.n.w.