Podzielność liczb Spr: Wykazać, że dla każdego m∊ℕ liczba m(m+1)(2m+1)(3m²+3m−1) jest podzielna przez 30. Próbowałem indukcją: sprawdzenie założenia dla n=1, następnie dla n = k+1, jednak rekurencyjnie rozbijam wyrażenie, by uzyskać podzielność z założenia, przy czym dodaję składniki, których podzielność można podać w wątpliwość. Czy przedstawilibyście sprytny pomysł?

Blee: 30 = 6*5 = 2*3*5 więc: m(m+1)(2m+1)(3m²+3m−1) musi być podzielne przez 2, przez 3 i przez 5 m(m+1) podzielne przez 2 (oczywista oczywistość) jeżeli m(m+1) NIE JEST podzielne przez 3 ... to znaczy że m+2 podzielne przez 3 ... więc 2(m+2) = 2m+4 podzielne przez 3 ... więc także 2m+4 − 3 = 2m+1 podzielne przez 3 więc już wiemy, że m(m+1)(2m+1) jest podzielne przez 2*3 = 6 ostatnie (podzielność przez 5) możesz po prostu rozpatrzeć kolejne możliwości: m = 5k (wtedy m podzielne przez 5) m = 5k+1 m = 5k+2 (wtedy 2m+1 = 10k + 5 podzielne przez 5) m = 5k+3 m = 5k+4 (wtedy m+1 podzielne przez 5) zostały Ci raptem 2 warunki ... podstawiasz do (3m²+3m−1) i sprawdzasz czy dla obu będziesz miał podzielność przez 5

jc: Inny sposób. w(m)=m(m+1)(2m+1)(3m²+3m−1) W(m)−W(m−1)=30m⁴ A ponieważ 30|W(0), więc dla każdego m, 30|W(m) Uwaga: W(m)=30(1⁴+2⁴+3⁴ + ... +m⁴)

Blee: jc ... w jaki sposób wyznaczyłeś W(m) − W(m−1)

jc: Musiałem wyjść do pracy, więc wklikałem w komputer. A że wyszło ładnie, wiec się podzieliłem wynikiem. Oczywiście najprościej uzasadnić wynik tak, jak to zrobił Blee.