Granica ciągu rekurencyjnego
Spr: Hej, prosiłbym o sprawdzenie rozwiązania:
Zbadaj zbieżność i ewentualnie znajdź granice ciągów określonych rekurencyjnie:
a) a
n+1 =
12(a
n+
1an), a
1>0
1) Zakładam istnienie granicy g dla a
n+1 i a
n, rozwiązuję (g+1)(g−1)=0, z założeń uzyskuję
g=1.
2) Ograniczenie od dołu dla ciągu malejącego:
| | an2+1 | | an2+1 | |
an = 12an+12an = |
| = |
| +1 −1 = 1 + |
| | 2an | | 2an | |
| | an2+1−2an | | (an−1)2 | |
|
| = 1 + |
| > 1 |
| | 2an | | 2an | |
3) Monotoniczność:
| | an2+1 | | an+1an | |
an+1 = |
| = an*( |
| ) |
| | 2an | | 2an | |
| | an+1an | |
( |
| ) <1 ⇒ malejący |
| | 2an | |
15 lut 08:30
jc: Używaj dużej litery U.
(2) a
n+1 = ... zamiast a
n = ...
Nie do końca prawda, bo a
0 może być mniejsze od 1, dopiero dalsze wyrazy są nie mniejsze.
| | b | |
(3) b=a* |
| , jak stąd wynika druga linia? |
| | a | |
| | b | |
|
| < 1 ⇒ b < a, implikacja prawdziwa, ale skąd wiemy, że lewa strona implikacji |
| | a | |
ma miejsce
15 lut 09:09
Amma: 2) Dzięki za uwagi. Czy wystarczy zaznaczenie ,,dla dostatecznie dużych n"? Dla a
0<1
ostatecznie ,,przebija" jedynkę, by okazać się być ciągiem malejącym. Chyba.
3) a
n ograniczony z dołu przez 1 ⇒ a
n>1
| | 1 | | an+1an | |
an+ |
| < 2an ⇒ |
| <1 |
| | an | | 2an | |
15 lut 09:38
Blee:
(2) a skąd wiesz, że 'ostatecznie przebija jedynkę'
Musisz to pokazać (linijka rachunków)
i dlaczego sprawdzasz dla ciągu malejącego (zakładasz że jest on malejący − na jakiej
podstawie?)
(3) raczej bym pisał a
n > 1 ⇒ ograniczony z dołu przez 1
chociaż takie stwierdzenie jest jeszcze nie udowodnione (wykazane)
15 lut 09:48
jc: Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie.
| | 1 | |
(2) Ograniczenie z dołu daje nam szkolna nierówność U{a + |
| ≥ 2. |
| | a | |
Dlatego najwyżej zerowy wyraz jest mniejszy od 1.
(2) Różnica pomiędzy kolejnymi wyrazami
| | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | |
a − |
| (a+ |
| ) = |
| (a − |
| ) ≥ 0 bo a≥1≥1/a>0. |
| | 2 | | a | | 2 | | a | |
Dlatego ciąg jest nierosnący (znów z pominięciem zerowego wyrazu).
15 lut 09:59
jc: Przy okazji sprawdź sobie wzór ogólny tego ciągu:
a
0>0
| | (a0+1)2n + (a0−1)2n | |
an = |
| |
| | (a0+1)2n − (a0−1)2n | |
| | 32n + 1 | |
Np. dla a0=2 mamy an = |
| |
| | 32n − 1 | |
Wzór wyraźnie pokazuje, jak szybko wyrazy ciągu zbliżają się do 1.
15 lut 10:05
Ok: Blee − sprawdziłem kilka pierwszych wyrazów, by ocenić monotoniczność.
Jc, jak zamierzałeś dokończyć ułamek z postu o 9:59?
Reasumując:
− Co jest niedopuszczalne,
− niedostateczne,
− akceptowalne,
w moim rozwiązaniu?
15 lut 10:14
Blee:
1) Pokazujesz, że jeżeli a1 > 1 to dla każdego n>1 zachodzi 1 < an+1 < an
2) Pokazujesz, że jeżeli a1 < 1 to a2 > 1 a później mamy (1)
3) Pokazujesz, że dla a1 = 1 to an = 1 dla dowolnego n
I masz sprawdzoną monotoniczność
15 lut 10:23
jc: | | 1 | |
(2) a+ |
| ≥ 2 dla a >0. Sam udowodniłeś. |
| | a | |
(3) piszesz dwie linijki.
| | b | |
Pierwsza ma postać: b=a* |
| . |
| | a | |
| | b | |
Druga ma postać: |
| < 1 ⇒ b < a. |
| | a | |
Obie linie są prawdziwe (przy przy pewnych oczywistych założeniach).
Jednak nadal nie wiemy, dlaczego b<a.
15 lut 10:28
Ok: Dzieki, Blee.
Przyznam, jc, że nie wiem, jak dodatkowo wykazać b<a
15 lut 10:53
jc: n≥1
an ≥ 1, to już wiemy. Dlatego 1/an ≤ 1.
Stąd an − 1/an ≥ 0.
A teraz policz an+1 − an = ...
15 lut 11:10
Spr: Super, dzięki
15 lut 11:11