Prawdopodobieństwo Saizou : Dzień dobry, ostatnio przeglądając zadania z rachunku prawdopodobieństwa natrafiłem na takie zadanie Urna zawiera n kul wśród których są tylko kule białe i czarne. Dokładamy do nich biała kulę a następnie losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej. Czy tylko mi się wydaje, że jest tu za mało danych?

Leszek: Niech : x − kule biale, y − kule czarne | Ω | = ( n +1 )!/ ( n ! ) | A | = ( x+1)! / (x!) P(A) = x/n Czyli ? ? ?

Saizou : Odpowiedź ma zależeć tylko od n. Gdyby była podana ilość kul białych lub czarnych, to jest to proste zadane.

Saizou : Podbije swoj post

Adamm: Jeśli x to ilość kuli białych na początku, to prawd. = (x+1)/(n+1). Teraz zadanie można zinterpretować tak, że x jest losowe. Wtedy prawd. wylosowania kuli białej, to po prostu wartość oczekiwana z (x+1)/(n+1), czyli (n+2)/(2n+2). Jest to ciekawsze, ale raczej to po prostu nadinterpretacja.

Saizou : A teraz to należy przetłumaczyć na język zrozumiały dla ucznia technikum xd

Blee: To jest dziwne zadanie, ponieważ bez informacji jaka jest liczba kul danego koloru nie możemy wyznaczyć wprost prawdopodobieństwa wylosowania kuli białej. Jednak jeżeli potraktujemy liczbę kul białych w urnie jako zmienną to możemy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej rozpatrując WSZYSTKIE możliwe urny. x_i −−− liczba kul białych w urnie (na początku) P_i −−− prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z urny która miała (początkowo) x_i kul białych 0 ≤ x_i ≤ n <−−− więc mamy n+1 możliwych urn

	1
P0 =
	n+1

	2
P1 =
	n+1

...

	n+1
Pn =
	n+1

My NIE WIEMY która z tych urn jest tą faktyczną urną, każda z nich ma możliwość bycia 'tą

	1
słuszną' z prawdopodobieństwem
	n+1

	1		1+2+...+(n+1)
stąd P =		(P0 + P1 + ... + Pn) =		= ...
	n+1		(n+1)2

Ja bym tak to próbował wyjaśnić 'metodą szkolną', jednak obawiam się, że część uczniów może nie załapać. Ale to już zależy od tego jak wprawionym w tłumaczeniu prawdopodobieństwa jest nauczyciel (ja nie jestem )

Saizou : Dzięki wielkie, bardzo mi się to przyda

Blee: Tak więc w efekcie obliczyliśmy prawdopodobieństwo wyciągnięcia z urny kuli białej pod warunkiem, że nie wiemy ile dokładnie tych kul białych w urnie się znajduje.

Saizou : Jeszcze dopytam: dlaczego mamy ten etap dodawania kuli?

Blee:

	1
Może po to, aby prawdopodobieństwo nie wyszło
	2

zauważ, że przy układzie 0≤x≤n będziesz miał P₀ + P_n = 0 + 1 = 1

	1		n−1
P1 + Pn−1 =		+		= 1
	n		n

... P_i + P_n−i = 1

	1		n+1		1
więc P =		*		=
	n+1		2		2

Saizou : Tak jak w żarcie, że prawdopodobieństwo jest 1/2. Coś zajdzie albo nie znajdzie