Zadanie logika: Niech f: ℛ × ℛ → P(ℕ) będzie dana wzorem: f(x, y) = { [x, y] dla x ≤ y { [y, x] dla x > y (1) Czy funkcja jest 1−1? Uzasadnij. (2) Czy funkcja jest "na"? Uzasadnij. (3) Niech D = {1} × ℛ. Wyznacz f[D]. (4) Wyznacz f⁻¹[{ℕ}] (1) Funkcje nie jest 1−1, bo f(<1, 2>) = f(<2, 1>). (2) Funkcja nie jest "na", bo nie znajdziemy takiego argumentu, że f(<x, y>) = ∅. Taka sytuacja miałaby miejsce, gdyby [x, y] ∧ x > y, ale gdy x > y, to f(<x, y>) = [y, x]. (3) f[D] = {[a,b]: ∃_{<x,y>∊ℛ²} [a,b] = f(<x,y>)} = {[a,b]: ∃_{<1,y>∊ℛ²}[a,b] = f(<1,y>)} Rozpatrzmy teraz dwie sytuacje: 1 ≤ y ⇔ y ≥ 1 Stąd w zbiorze mamy {[1, y]: y ≥ 1} Oraz 1 > y ⇔ y < 1, co odpowiada zbiorowi: {[y, 1]: y < 1} Więc ostatecznie f[D] = {[1, y]: y ≥ 1} ∪ {[y, 1]: y < 1} (4) f⁻¹[{ℕ}] = {<x,y>: f(<x,y>) ∊ ℕ} Więc odcinek [x,y] ∊ ℕ tylko wtedy, gdy x = y. Wobec czego f⁻¹[{ℕ}] = {<x,x>: x ∊ ℕ} Proszę o sprawdzenie

Adamm: [x, y]∩N ?

logika: Czeski błąd, oczywiście chodziło o f: ℛ² →P(ℛ)

Adamm: 3) f(D) = {f(x, y) : (x, y)∊D} = {f(1, x) : x∊R } = to co napisałeś 4) x∊f⁻¹(N) ⇔ f(x) = N co jest niemożliwe, f⁻¹(N) = ∅