Rownanie Kuba152: Znajdź x x² + x + 12√x + 1 = 36

jc: x=3 jest rozwiązaniem. Dla x≥0 wyrażenie po lewej stronie rośnie, więc 3 to jedyne nieujemne rozwiązanie. Jeśli −1≤x≤0, to po lewej stronie mamy nie więcej niż niż 1+12=13, a to za mało. Mamy więc tylko jedno rozwiązanie: x=3.

Kuba152: Dzięki !

Leszek: x(x+1) +12√x+1 = 36 x+1= t² ⇒ x= t² −1 Czyli (t² −1)*t² +12 t = 36 t⁴ − t² +12t −36 = 0, wielomian W(2) = 16 −4 +24 − 36 = 0 i dalej wedlug schematu Hornera !

Mariusz: No fajnie ale wtedy będzie miał wielomian trzeciego stopnia t⁴ − t² +12t −36 = 0 t⁴ − t² +12t −36=(t²−pt+q)(t²+pt+r) t⁴ − t² +12t −36=t⁴+pt³+rt²−pt³−p²t²−prt+qt²+pqt+qr t⁴ − t² +12t −36=t⁴+(q+r−p²)t²+(pq−pr)t+qr t⁴ − t² +12t −36=t⁴+(q+r−p²)t²+p(q−r)t+qr q+r−p²=−1 p(q−r)=12 qr=−36 q+r=−1+p²

	12
q−r=
	p

4qr=−144

	12
2q=−1+p2+
	p

	12
2r=−1+p2−
	p

4qr=−144

	12		12
(−1+p2+		)(−1+p2−		)=−144
	p		p

	144
(−1+p2)2−		=−144
	p2

	144
p4−2p2+1+144−		=0
	p2

p⁶−2p⁴+145t²−144=0 1−2+145−144=0 p=1

	1
q=		(−1+1+12)
	2

	1
r=		(−1+1−12)
	2

t⁴ − t² +12t −36=(t²−t+6)(t²+t+6) t⁴ − t² +12t −36=(t²−t+6)(t+3)(t−2)

Mariusz: W przedostatniej linijce oczywiście będzie t⁴ − t² + 12t − 36=(t² − t + 6)(t² + t − 6)

Mariusz: Ba tutaj można było od razu zauważyć różnicę kwadratów

jc: = t⁴ − (t−6)²

Mariusz: jc właśnie o to mi chodziło ale tę różnicę kwadratów zauważyłem dopiero gdy rozłożyłem ten wielomian używając współczynników nieoznaczonych Jeśli chodzi o rozwiązywanie równań czwartego stopnia metodą współczynników nieoznaczonych to najlepiej byłoby to równanie najpierw sprowadzić do postaci y⁴+b₂y²+b₁y+b₀=0 Równanie czwartego stopnia postaci a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀=0 można sprowadzić do postaci y⁴+b₂y²+b₁y+b₀=0 przedstawiając wielomian a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀

	a3
za pomocą sumy potęg dwumianu x+
	4a4

a następnie dzieląc równanie przez a₄