zbiory potęgowe logika: Mam udowodnić: (1) P(X) ∩ P(Y) = P(X ∩ Y) (2) P(X) ∪ P(Y) ⊆ P(X ∪ Y) Tylko szczerze powiedziawszy nie wiem, jak zaczynać w dowodach tego typu. Skoro w (1) mamy równość, to najlepiej rozbić to na dwie inkluzje. Ale wciąż nie bardzo wiem, jak zapiać wszystko tak, by prezentowało się dobrze od formalnej strony. Powiedzmy, że spróbuję zrobić tutaj (1): Niech x ∊ X ∩ Y ⇔ x ∊ X ∧ x ∊ Y. W definicji zbioru potęgowego mamy P(A) = {B: B ⊆ A}. Stąd wiemy, że jeśli x ∊ A, to istnieje zbiór B = {x}, taki, że B ⊆ A, więc ostatecznie B ∊ P(A). W takim razie wracając: x ∊ X ∧ x ∊ Y ⇒ {x} ∊ P(X) ∧ {x} ∊ P(Y) ⇔ {x} ∊ P(X) ∩ P(Y). W dodatku skoro x ∊ X ∩ Y, to {x} ∊ P(X ∩ Y). Więc P(X) ∩ P(Y) ⊆ P(X ∩ Y). Dalszej części nie ma co robić, jeśli ta powyższa jest zła, dlatego proszę o sprawdzenie i surową ocenę

Pytający: Nie jest dobrze, przecież do P(X) mogą należeć też inne zbiory niż te postaci {x}, gdzie x ∊ X. Prościej: P(X) ∩ P(Y) = {A: A ⊆ X} ∩ {A: A ⊆ Y} = {A: A ⊆ X ∧ A ⊆ Y} = {A: A ⊆ X ∩ Y} = P(X ∩ Y)

logika: Hm, widzę błąd w swoim rozumowaniu. W ten sposób nie dopuszczam możliwości istnienia innych zbiorów, na przykład dwuelementowych, bądź więcej takich, co mają więcej elementów. Tylko w takim razie jak zrobić (2)? Próbując analogicznie co w 16:53, otrzymam ostatecznie: P(X) ∪ P(Y) = {A: A ⊆ X} ∪ {A: A ⊆ Y} = {A: A ⊆ X ∨ A ⊆ Y}, tylko, czy to aby na pewno jest poprawne? Zawieranie w (2) mówi, że do zbioru po prawej stronie należą elementy, których nie ma w sumie zbiorów po lewej stronie. I jest to dosyć łatwe do wyobrażenia, gorzej z dowodzeniem. Z definicji inkluzji: A ∊ P(X) ∪ P(Y) ⇒ A ∊ P(X ∪ Y). Tyle, że robiąc analogicznie, to niespecjalnie owa inkluzja jest widoczna

Pytający: "tylko, czy to aby na pewno jest poprawne?" Tak, te równości są poprawne. "Zawieranie w (2) mówi, że do zbioru po prawej stronie należą elementy, których nie ma w sumie zbiorów po lewej stronie." Nie. To zawieranie mówi, że zbiór po lewej jest podzbiorem zbioru po prawej. To co napisałeś nie zawsze jest prawdziwe, sprawdź dla X = Y. "Z definicji inkluzji: A ∊ P(X) ∪ P(Y) ⇒ A ∊ P(X ∪ Y)." Nie bardzo rozumiem, z jakiej definicji to wynika. Można np. tak (chyba każdy krok jest oczywisty): P(X) ∪ P(Y) ⊆ P(X) ∪ P(Y) ∪ P(X ∪ Y) = {A: A ⊆ X} ∪ {A: A ⊆ Y} ∪ {A: A ⊆ X ∪ Y} = = {A: A ⊆ X ∨ A ⊆ Y ∨ A ⊆ X ∪ Y} = {A: A ⊆ X ∪ Y} = P(X ∪ Y)

logika: "Nie. To zawieranie mówi, że zbiór po lewej jest podzbiorem zbioru po prawej." Faktycznie, coś mi się ubzdurało. "Nie bardzo rozumiem, z jakiej definicji to wynika." Chodziło mi, że A ⊆ B ⇔ (dla dowolnego x, x ∊ A ⇒ x ∊ B). Tyle, że w tym momencie głupio zakładam, że inkluzja faktycznie zachodzi. Tak w dowodzie nie można. Czyli ostatecznie trzeba być poniekąd sprytnym, by sobie to odrobinę zmodyfikować i pokazać, że ta inkluzja faktycznie zachodzi. Mam jeszcze taki dopisek, na sam koniec: Wykaż, że punkcie (2) nie zachodzi inkluzja odwrotna. Więc wystarczy wskazać przykład dwóch takich zbiorów X, Y, aby nie zachodziła inkluzja odwrotna, zgadza się? Czy może jakoś bardziej formalnie, jak w powyższych przykładach?

Pytający: Przykład wystarczy.

logika: Okej, poćwiczę nad tym w takim razie. Dziękuję za poświęcony czas