warunek dostateczny oraz konieczny logika: Podaj warunki konieczne i warunki dostateczne zachodzenia poniższych równości: (1) {b, c} = {b, c, d} (2) {a, {a, b}} = {c, {c, d}} (3) {{a, b}, d} = {{a}} (4) {{a, ∅}, b} = {{∅}} W punktach (1)–(3) zakładamy, że a, b, c i d nie są zbiorami. Warunek konieczny to pewien wniosek wynikający z jakiegoś faktu, zaś warunek dostateczny gwarantuje zajście danego faktu. Zacznę od (1): Skoro warunek konieczny to pewien wniosek, to skoro mamy równość zbiorów, to oba zbiory muszą mieć tyle samo takich samych elementów. Więc mamy d = b lub d = c lub b = d = c. Warunkiem dostatecznym więc będzie to, że d = c. Czy tyle wystarczy? Nie chcę brać się za dalsze przykłady, jeśli to u góry jest źle, bo wtedy mija się to z celem.

Pytający: Dobrze, ale "lub b = d = c" w warunku koniecznym jest zbędne (zauważ, że jeśli zachodzi ta równość, to pozostałe warunki z alternatywy są spełnione). Można też warunek konieczny zapisać jako d∊{b, c}.

logika: Okej, to teraz zrobię następne, skoro to w miarę rozumiem (2) Warunek konieczny: (a = c i b = d) lub (a = c i a = b i c = d) Warunek dostateczny: a = c i b = d (3) Warunek konieczny: Hm, tutaj nie ma takiego, bo ta równość nie ma prawa zajść, skoro a, b, c i d nie są zbiorami. Po lewej stronie zbiór ma dwa elementy, a po prawej ma jeden element. Warunek dostateczny: brak z tego wniosku, co wyżej. (4) Warunek konieczny: skoro mamy równość, to ilość elementów, jak i ich wartość musi być taka sama. Wobec tego a = ∅ i b = {∅}. Warunek dostateczny: taki sam jak konieczny (?)

Pytający: (2) Dobrze, ale znowuż warunek konieczny można znacznie prostszy, np. a = c. I swoją drogą warunek konieczny jest zawsze spełniony, gdy spełniony jest warunek dostateczny... co już powinno Tobie zasugerować, że "lub (a = c i a = b i c = d)" w Twoim warunku koniecznym tak naprawdę nic nie wnosi (bo przecież jeśli jest to spełnione, to "a = c i b = d" też jest spełnione). (3) Generalnie zbiór po lewej ma co najwyżej dwa elementy (ale faktycznie przy założeniu, że d nie jest zbiorem ma dokładnie dwa elementy). Żeby równość zachodziła musiałoby zachodzić {a} = d = {a, b}, znaczy d musiałby być zbiorem, co jest sprzeczne z założeniem. (4) Dobrze, ale znowuż warunek konieczny można podać prostszy, np. a = ∅ (ale rzecz jasna warunkiem dostatecznym pozostaje a = ∅ i b = {∅}).

ite: (4) Może być taka odpowiedź: warunkiem dostatecznym pozostaje a = ∅ i b = {∅} ? Skoro zakładamy, że a, b, c i d nie są zbiorami? To samo, co w (3).

logika: ite, a, b, c oraz d nie są zbiorami tylko w podpunktach (1) − (3), tak mam w poleceniu Czyli w warunku koniecznym wystarczy uwzględnić tylko jakiś jeden fakt, nie wszystkie, tak?

ite: OK, dla (4) to nie obowiązuje, wszystko jasne : )

Pytający: Tak, warunek konieczny musi być taki, że jak nie zachodzi, to podany fakt też na pewno nie zachodzi. Na tym polega owa "konieczność". Przykładowo, jeśli x dzieli się przez 6, to musi być parzysty (jest to konieczne, bo jak nie jest parzysty, to na pewno nie jest podzielny przez 6). Oczywiście sama parzystość nie gwarantuje podzielności przez 6, więc nie jest to warunek dostateczny (nie wystarcza, potrzeba czegoś więcej). Jeśli jednak powie się, że jest parzysty i podzielny przez 3, to już jest warunek dostateczny (bo z tego wynika podzielność przez 6). Ogólnie niech p to będzie jakiś fakt, wtedy: • jeśli zachodzi p ⇒ q, to q jest warunkiem koniecznym na zajście p, • jeśli zachodzi r ⇒ p, to r jest warunkiem wystarczającym/dostatecznym na zajście p.

logika: Okej, teraz już wszystko jasne. Dziękuję za pomoc