formuły logika: Ile jest, z dokładnością do równoważności, takich formuł logicznych α(p, q), że przy podstawieniu: p = "17 jest liczbą pierwszą" q = "pada deszcz" stają się one zdaniami prawdziwymi bez względu na panujące warunki atmosferyczne? No więc tak, wartość logiczna p wynosi zawsze 1 oraz wiemy, że α(p, q) jest tautologią niezależnie od q. W takim razie q może przyjąć dwie różne wartości, to jest 0 lub 1, a więc w sumie mamy tylko dwie równoważne formuły. Zgadza się?

ite: W czterech z możliwych szesnastu formuł logicznych otrzymasz prawdę, niezależnie od wartości zadania q. http://prntscr.com/qzvt3p

logika: Dlaczego właśnie tak? Zróbmy tabelkę: p | q | α(p, q) ___________ 1 | 0 | 1 1 | 1 | 1 Więcej możliwości przecież nie ma, bo wykluczamy sytuacje, gdy p = 0. Czy może chodzi również o spójniki, jakie mogłyby się pojawić w owej formule?

ite: Formułę logiczną α(p, q) tworzą funktory prawdziwościowe (czyli spójniki logiczne) i zmienne zdaniowe p i q. Formułę buduje się dla wszystkich możliwych podstawień, nie tylko dla jakiegoś konkretnego zdania. Dopiero po podstawieniu za p zdania "17 jest liczbą pierwszą" wiesz, że w(p)=1. Wcześniej nie wiesz, jakie zdanie podstawisz za zmienną, więc budujesz tabelę dla każdej możliwej wartości. Dlatego nie możesz uciąć tabeli (tak jak 22:46). Tak jak na obrazku w linku cztery spójniki przy w(p)=1 i dowolnej wartości w(q) dają prawdę. Dwa z nich mają nazwy, są to alternatywa i implikacja odwrotna.

ite: Nie wiem, czy to przekonywujące wyjaśnienie, ale krócej nie potrafię tego opisać.

Pytający: Dorzucę link: https://en.wikipedia.org/wiki/Truth_function#Table_of_binary_truth_functions Ite, S₁ z twojego linka po polsku chyba też można nazwać tautologią?

ite: wizją samych sukcesów? obietnicą z jakieś kampanii?

logika: Hm, ciężko to trochę pojąć. Samą definicję rozumiem, szukamy takich formuł logicznych, które przy tych samych podstawieniach mają taką samą tabelkę logiczną. Ale skąd w takim razie mam brać wszystkie możliwe formuły? Jak napisała ite w 23:10: "Dwa z nich mają nazwy, są to alternatywa i implikacja odwrotna". No fakt, alternatywa będzie spełniała ową tabelkę, ale o implikacji odwrotnej to nawet na zajęciach nie słyszałem. W dodatku połowa z danych spójników nie ma nazwy...

Pytający: Może nieco z drugiej strony: czy formuły logiczne α(p, q) = p ∧ q oraz β(p, q) = p ∨ q są równoważne (takie same z dokładnością do równoważności)? Oczywiście nie są, bo dla p ≠ q mamy (p ∧ q) ≠ (p ∨ q): p | q | p ∧ q | p ∨ q 0 | 0 | 0 | 0 0 | 1 | 0 | 1 1 | 0 | 0 | 1 1 | 1 | 1 | 1 I jeśli zadam teraz pytanie: ile jest, z dokładnością do równoważności, takich formuł logicznych α(p, q), że przy podstawieniu: p = "17 jest liczbą pierwszą" q = "2 jest liczbą pierwszą" stają się one zdaniami prawdziwymi? Od razu widać, że przynajmniej dwie wyżej wspomniane formuły (dobrze Ci znane: koniunkcja i alternatywa) będą prawdziwe przy takim podstawieniu. Faktycznie takich różnych formuł jest 8. A wg Twojego rozumowania jest jedynie 1 taka formuła... I żadnych nazw tych formuł znać nie musisz. Do formuły logicznej α(p, q) możesz podstawić parę argumentów na 2² = 4 różne sposoby. I dla każdej takiej pary otrzymujesz jedno z dwóch możliwych wartościowań (prawda/fałsz). Znaczy: α(0, 0) = a, α(0, 1) = b, α(1, 0) = c, α(1, 1) = d, gdzie a, b, c, d ∊ {0, 1}. Stąd jest 2⁴ = 16 różnych z dokładnością do równoważności formuł logicznych (dwuargumentowych), bo każda formuła logiczna jest jednoznacznie (z dokładnością do równoważności) wyznaczona przez czwórkę (a, b, c, d). Te wszystkie możliwe formuły masz wypisane w tabelce zamieszczonej przez Ite. A w Twoim zadaniu musisz po prostu się zastanowić, ile jest formuł logicznych α(p, q) takich, że: α(0, 0) = a, α(0, 1) = b, α(1, 0) = 1, α(1, 1) = 1, gdzie a, b ∊ {0, 1}. I tych jest oczywiście 2² = 4.

logika: Okej, teraz widzę, że całkiem źle do tego podchodziłem. Dziękuję za obszerne tłumaczenie To tak na próbę zrobię tutaj inne zadanie: Znajdź wszystkie formuły (z dokładnością do równoważności) α(p, q), dla których p ∨ q ⇒ α(p, q) jest tautologią. p | q | p v q | α(p, q) | p ∨ q ⇒ α(p, q) 0 | 0 | 0 | 0/1 | 1 1 | 0 | 1 | 1 | 1 0 | 1 | 1 | 1 | 1 1 | 1 | 1 | 1 | 1 Ostatnia kolumna musi być jedynkami, gdyż w warunkach zadania jest mowa o tautologii. Skoro mamy implikację, to tylko podczas gdy p = q = 0, α(p, q) = 0 lub α(p, q) = 1, bo z fałszu wynika dowolny wniosek. W całej reszcie przypadków alternatywa p v q = 1, więc α(p, q) musi być równe 1, inaczej nie otrzymamy tautologii. Wobec tego mamy 5 takich formuł.

Pytający: "Wobec tego mamy 5 takich formuł." To wypisz te 5 formuł, bo nie wiem, jak się ich doliczyłeś przy takim rozumowaniu...

logika: Ach, dwie formuły. W końcu tylko przy p = q = 0 mamy wybór...

Pytający:

logika: Dziękuję Wam za poświęcony czas