rownania cos: Mam uklad rownan rozniczkowych x'(t)=−2y(t) y'(t)=2x(t) x(0)=1 y(0)=0 W jaki sposob je rozwiazac?

cos: Jak sprowadze do rownania drugiego rzedu to bedzie dobrze?

Mariusz: Będzie dobrze ale jest jeszcze inne rozwiązanie x'(t)=−2y(t) y'(t)=2x(t) x(0)=1 y(0)=0

dx		dy		dt
	=		=
−2y		2x		1

dx		dy
	=
−2y		2x

	−2ydy
dx=
	2x

2xdx=−2ydy x²=−y²+C₁ x²+y²=C₁ y²=C₁−x²

dx
	=dt
−2√C1−x2

dx
	=−2dt
√C1−x2

	x
arcsin(		)=−2t+C2
	√C1

x
	=sin(−2t+C2)
√C1

x(t)=√C₁sin(−2t+C₂) y(t)=√C₁−C₁sin²(−2t+C₂) x(t)=√C₁sin(−2t+C₂) y(t)=√C₁cos(−2t+C₂) x(t)=−√C₁sin(2t−C₂) y(t)=√C₁cos(2t−C₂) √C₁sin(C₂)=1 √C₁cos(C₂)=0

Mariusz: Przykładowe C₁ oraz C₂ spełniające warunki C₁=1

	π
C2=
	2

cos: A ten uklad sprowadzony do rownania drugiego rzedu zrobilem tak obliczam pochodna pierwszego rownania i mam: x''(t)=−2y'(t) x''(t)=−2(2x(t)) x''(t)=−4x(t) x''(t)+4x(t)=0 Mam rownanie charakterystyczne r²+4=0 Dobrze?

cos: ?

cos: ?

Mariusz: Do tego momentu masz dobrze