rownania cos: x''(t)+x(t)=cost Jak je rozwiazac?

Mniej więcej: Najpierw rozwiązujesz jednorodne: x''(t)+x(t) = 0 Znajdujesz całkę ogólną równania jednorodnego (klasycznie za pomocą równania charakterystycznego) Później używasz albo metody uzmienniania stałych albo metody przewidywać żeby znaleźć całkę szczególną równania niejednorodnego.

cos: Dziekuje bardzo.

Mariusz: x''(t)+x(t)=cos(t) x'(0)=C₁ x(0)=C₂ L(x⁽ⁿ⁾(t))=∫₀^∞x⁽ⁿ⁾(t)e^−stdt L(x⁽ⁿ⁾(t))=x⁽ⁿ⁻¹⁾(t)|₀^∞−∫₀^∞−sx⁽ⁿ⁻¹⁾(t)e^−stdt L(x⁽ⁿ⁾(t))=0−x⁽ⁿ⁻¹⁾(0⁺)+s∫₀^∞x⁽ⁿ⁻¹⁾(t)e^−stdt L(x⁽ⁿ⁾(t))=−x⁽ⁿ⁻¹⁾(0⁺)+sL(x⁽ⁿ⁻¹⁾(t)) L(x''(t))=−C₁+sL(x'(t)) L(x''(t))=−C₁+s(−C₂+sL(x(t))) L(x''(t))=−C₁−C₂s+s²L(x(t))

	s
−C1−C2s+sL(x(t))+L(x(t))=
	s2+1

	s
−C1−C2s+(s2+1)X(s)=
	s2+1

	C1+C2s		s
X(s)=		+
	s2+1		(s2+1)

d		1		2s
	(		)=−
ds		s2+1		(s2+1)2

	2s
L(−tsin(t))=−
	(s2+1)2

	1		s
L(		tsin(t))=
	2		(s2+1)2

	1
x(t)=C1sin(t)+C2cos(t)+		tsin(t)
	2