Obliczyć granicę Paula: Znajdzie się może dobra duszyczka, żeby wytłumaczyć krok po kroku? Oblicz granicę: lim (1+sin ¹_n)ⁿ n→∞

topkek:

	1
1∞ = 0 −> sin		=0
	n

1^∞ = 1

x: @topkek (1+coś)ⁿ daje zazwyczaj coś z "e"

Leszek: po zlogarytmowaniu : lim e ^{n ln ( 1 + sin(1/n))} = ...

	1+ sin(1/n)
lim		= ...[ regula de L ' Hospitala ][= 1
	1/n

Czyli lim ( .. )= e

Leszek:

	ln( 1 + sin(1/n))
Sorry , w liczniku powinno byc : lim
	1/n

Lub dla n→ ∞ , sin (1/n) ≈ 1/n Czyli lim ( 1 + sin (1/n))ⁿ ≈ lim (1 + 1/n)ⁿ = e , dla n→∞

Blee: więc tak Paula Metoda 'krótsza'

	sinx
zauważ, ze limx−>0		= 1
	x

więc:

	sin(1/n)		1		sinx
limn −> +∞		= //x =		; wtedy x−>0 // = limx−>0		= 1
	1/n		n		x

	1		1
co to oznacza ... a to, że limn−>+∞ sin		= limn−>+∞
	n		n

więc (to oczywiście jest obwarowane paroma definicjami):

	1
limn −> +∞ (1 + sin(1/n))n = limn −> +∞ (1 +		)n = e1 <−−− granica Eulera
	n

Blee: metoda "dłuższa" lim_{n −> +∞} (1 + sin(1/n))ⁿ = lim_{n −> +∞} e^{ln( (1 + sin(1/n)n)} = = lim_{n −> +∞} e^{n* ln(1 + sin(1/n))} = e ^{lim_{n −> +∞} n* ln(1 + sin(1/n))} policzmy więc lim_{n −> +∞} n* ln(1 + sin(1/n))

	ln(1 + sin(1/n))		0
limn −> +∞ n* ln(1 + sin(1/n)) = limn −> +∞		= [		] H =
	1/n		0

	cos(1/n)   1 + sin(1/n)*( (−1)/(n2) )
= limn −> +∞		=
	−1   n2

	cos(1/n)		1
= limn −> +∞		=		= 1
	1 + sin(1/n)		1 + 0

więc e ^{lim_{n −> +∞} n* ln(1 + sin(1/n))} = e¹ = e

Paula: Bardzo bardzo dziękuję ^^

Paula: Przepraszam mój bład musi być bez użycia reguły de L ' Hospitala

ABC: można rozpisać językiem epsilonów ten fakt że sin(1/n) zachowuje się asymptotycznie jak 1/n i skorzystać z granicy podstawowej