funkcje mat:

	π		π
Dowiesc, ze dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y ∊(−		,		) zachodzi nierownosc
	2		2

|tgx−tgy|≥|x−y|. Czy mozna skorzystac z twierdzenia Lagrange'a o wartosci sredniej?

ABC: tak, można

mat: Dla x=y nierownosc jest oczywista. Dla x≠y z tw. Lagrange'a o wartosci sredniej wynika rownosc |f(x)−f(y)|=|f'(c)|*|x−y|, gdzie c lezy miedzy x i y.

	π		π
Wykazemy, ze dla dowolnej liczby x ∊ (−		,		) zachodzi nierownosc |f'(x)|≤1.
	2		2

Mamy

	1		1		1
|f'(x)|=|		|=		≤		=1.
	cos2x		cos2x		1

Dobrze?

ABC: myślałem że wykorzystasz postać pochodnej 1+tg²x tam ładnie to widać poza tym nie w tą stronę szacowanie, źle

mat: Najpierw moze dla tej pochodnej.

	π		π
Wykazemy, ze dla dowolnej liczby x ∊ (−		,		) zachodzi nierownosc |f'(x)|≥1.
	2		2

Mamy

	1		1
|f'(x)|=|		|=		, co jest rowne 1 dla x=0
	cos2x		cos2x

Dla x≠0 mamy dalej:

1
	≥.... jak dalej?
cos2x

ABC: się uparłeś na tego cosinusa jak z tangensa masz jeden plus kwadrat , więc na pewno większa równa jeden