Modulo egzamin Help: 24³⁵ mod 13 = ?

ABC: 24≡−2 mod 13 24⁶≡(−2)⁶≡−1 mod 13 24¹²≡1 mod 13 dokończ

otto: Nie kumam. Proszę o opis.

Pytający: 24 = 2 * 13 − 2 (−2)⁶ = 64 = 5 * 13 − 1 (−1)² = 1

otto: Dziękuję Ale czy reszta nie powinna być liczbą dodatnią?

ABC: zależy od umowy ale przeważnie nie

Adamm: Reszta jest zawsze nieujemna.

otto: Zgadzam się z Adamm Jak zatem powinno wyglądać rozwiązanie?

etna: Ja też chętnie zobaczę rozwiązanie

Pytający: 24³⁵ ≡₁₃ (−2)³⁵ = ((−2)⁷)⁵ = (−128)⁵ ≡₁₃ 2⁵ = 32 ≡₁₃ 6

etna: Czy liczba −2 to reszta? Pytam, bo jest ujemna i nadal nie rozumiem. Proszę o wyjaśnienie.

Pytający: 24³⁵ ≡₁₃ (−2)³⁵ oznacza, że reszta z dzielenia 24³⁵ przez 13 jest równa reszcie z dzielenia (−2)³⁵ przez 13. A skąd taki wniosek? 24 = 1 * 13 + 11, −2 = −1 * 13 + 11, czyli reszta z dzielenia przez 13 odpowiednio 24 i −2 jest taka sama (równa 11), więc obie liczby podniesione do tej samej potęgi również dadzą taką samą resztę z dzielenia przez 13 (bo jeśli a ≡_n b, to a^k ≡_n b^k). https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic#Properties

etna: Bardzo dziękuję!