Równanie różniczkowe Meu: Rozwiąż równanie różniczkowe bez wyznaczania współczynników: y'' + 4y' + 5y = e^−2xsinx + e^−2x Z całki ogólnej równania jednorodnego mam: y_j = e^−2x(C₁*cos(x) + C₂sin(x)) Jak metodą przewidywań ma wyglądać teraz y_p?

xyz: ja bym to chyba rozbil na 2 przypadki − te prawa strone wpierw dla r₁(x) = e^−2xsinx a potem dla r₂(x) = e^−2x i to wszystko na koncu dodac wiec najpierw y_p1 = Ae^−2xsinx + Be^−2xcosx oczywiscie fragment Ae^−2xsinx jakby "pokrywa sie" z e^−2xC₂sinx w sumie ten drugi tez sie pokrywa (wystarczy ze fragment sie pokryje i... podnosimy stopien y_p1) zatem nowe y_p1: y_p1 = x(Ae^−2xsinx + Be^−2xcosx) = Axe^−2xsinx + Bxe^−2xcosx dalej to juz wiesz pochodna, druga pochodna , podstawienie itd. jak wyznaczysz wszystko to potem dla e^−2x y_p = Ae^−2x y_p' = ... y_p" = ... no i wtedy y = y_j + y_p1 + y_p2

piotr: https://kmim.wm.pwr.edu.pl/laszcz/wp-content/uploads/sites/71/2019/11/Metoda-przewidywan-tabela.pdf

Mariusz: y'' + 4y' + 5y = e^−2xsinx + e^−2x y(0)=C₂ y'(0)=C₁ ∫₀^∞y⁽ⁿ⁾(x)e^−sxdx=y⁽ⁿ⁻¹⁾(x)e^−sx|₀^∞+s∫₀^∞y⁽ⁿ⁻¹⁾e^−sxdx ∫₀^∞y⁽ⁿ⁾(x)e^−sxdx=0−y⁽ⁿ⁻¹⁾(0⁺)+s∫₀^∞y⁽ⁿ⁻¹⁾e^−sxdx ∫₀^∞y⁽ⁿ⁾(x)e^−sxdx=−y⁽ⁿ⁻¹⁾(0⁺)+s∫₀^∞y⁽ⁿ⁻¹⁾e^−sxdx L(y''(x))=−y'(0⁺)+s(−y(0⁺)+sL(y(x))) L(y''(x))=−y'(0⁺)−sy(0⁺)+s²L(y(x)) L(y'(x))=−y(0⁺)+sL(y(x)) y'' + 4y' + 5y=e^−2xsinx + e^−2x

	1		1
(−C1−sC2+s2Y(s))+4(−C2+sY(s))+5Y(s)=		+
	(s+2)2+1		s+2

	1		1
(s2+4s+5)Y(s)=C1+4C2+sC2+		+
	(s+2)2+1		s+2

	C1+4C2		s		s2+5s+7
Y(s)=		+C2		+
	s2+4s+5		s2+4s+5		(s+2)(s2+4s+5)2

s2+5s+7		1		s+2		1
	=		−		+
(s+2)(s2+4s+5)2		s+2		s2+4s+5		(s2+4s+5)2

	s+2
L(e−2xcos(x))=
	(s2+4s+5

d		s+2		1*(s2+4s+5)−(2s+4)(s+2)
	(		)=
ds		s2+4s+5		(s2+4s+5)2

d		s+2		(s2+4s+5)−(2s2+8s+8)
	(		)=
ds		s2+4s+5		(s2+4s+5)2

d		s+2		−(s2+4s+3)
	(		)=
ds		s2+4s+5		(s2+4s+5)2

d		s+2		2−(s2+4s+5)
	(		)=
ds		s2+4s+5		(s2+4s+5)2

d		s+2		2		1
	(		)=		−
ds		s2+4s+5		(s2+4s+5)2		s2+4s+5

2		d		s+2		1
	=		(		+
(s2+4s+5)2		ds		s2+4s+5		s2+4s+5

	C1+4C2		s		s2+5s+7
Y(s)=		+C2		+
	s2+4s+5		s2+4s+5		(s+2)(s2+4s+5)2

y(x)=(C₁+2C₂)e^−2xsin(x)+C₂e^−2xcos(x)+

	1		1
e−2x−e2xcos(x)−		xe−2xcos(x)+		e−xsin(x)
	2		2