Równania trygonometryczne malenka: rozwiąż równanie: a) cos2x + sin2x + 1=0 b)(1−tgx)(1+sin2x)=1+tgx

	1		1
c)(tgx+		)2+(		−tgx)2=14
	cosx		cosx

Godzio: cos2x = cos²x − sin²x sin2x = 2sinxcosx sin²x + cos²x = 1 cos²x − sin²x + 2sinxcosx + sin²x + cos²x = 0 2cos²x + 2sinxcosx = 0 2cosx(cosx + sinx) = 0

	π
cosx = 0 v cosx = −sinx cosx = sin(x+		)
	2

	π		π
x =		+ 2kπ v x = −		+ 2kπ
	2		2

	π
sin(x+		) = sin(−x)
	2

	π
x+		= −x + 2kπ
	2

	π
2x = −		+ 2kπ
	2

	π
x=−		+ kπ
	4

	π		3
łącznie: x =		+ kπ v x =		+ kπ
	2		4

Godzio: b) 1 + sin2x − tgx − 2sin²x = 1+ tgx

	2sinx
2sinxcosx −		− 2sin2x = 0
	cosx

2sinxcos²x − 2sinx − 2sin²xcosx =0 sinxcos²x − sinx − sin²xcosx = 0 sin²xcosx −sinx(1−cos²x) = 0 sin²xcosx − sin³x = 0 sin²x(cosx−sinx) = 0 sin²x = 0 sinx = 0 v

	π
cosx = sinx => cosx = sinx(x+		)
	2

	π
sinx(x+		) = sinx v sinx = 0 rozwiąż to pamiętając o zał. cosx≠0 itd mam nadzieje że
	2

sobie porawdzisz

Godzio: zał. cosx ≠ 0 dokończ założenie

	1		1
(tgx +		)2 + (		−tgx)2 = 14
	cosx		cosx

	1		sinx		1		sinx + 1
tgx +		=		+		=
	cosx		cosx		cosx		cosx

1		1−sinx
	−tgx =
cosx		cosx

(sinx + 1)2+(1−sinx)2
	= 14
cos2x

sin2x + 2sinx + 1 +1−2sinx+sin2x
	= 14
cos2x

2sin²x + 2 =14cos²x sin²x + 1 = 7cos²x sin²x + sin²x + cos²x = 7cos²x sin²x = 3cos²x sin²x = 3(1−sin²x) sin²x = 3 − 3sin²x 4sin²x = 3

	3
sin2x =
	4

	√3		√3
sinx =		v sinx = −
	2		2

x= ... v x =... v x=... v x=... zaznacz na osi wyniki wyklucz wyniki nie należące do dziedziny i podaj końcowe rozwiązanie

malenka:

	π
nie wiem ttylko jak rozwiązać sinx(x+		)= sinx
	2

Godzio:

	π
sin(x+		) = sinx
	2

	π
x+		= x +2kπ
	2

π
	= 2kπ
2

w tym wypadku sprzeczne

malenka:

	π
no i cosd nam nie wyszło bo powinien jeszcze wyjśc wynik −		+kπ
	4

Godzio: (1−tgx)(1+sin2x)=1+tgx 1 + sin2x − tgx − tgx * sin2x = 1+tgx 2sinxcosx − 2tgx − tgx * 2sinxcosx = 0

	2sinx		sinx
2sinxcosx −		−		* 2sinxcosx = 0
	cosx		cosx

2sinxcos²x − 2sinx − 2sin²xcosx = 0 sinxcos²x − sinx − sin²xcosx = 0 −sinx(1−cos²x) − sin²xcosx =0 −sin³x − sin²xcosx =0 sin²x(sinx+cosx) = 0 sinx =0 v cosx = − sinx

	π
sinx = 0 v sin(x+		) = sin(−x)
	2

sinx = 0 x = kπ

	π
x+		= −x + 2kπ
	2

	π
2x = −		+ 2kπ
	2

	π		π
x= −		+ kπ v x = kπ => => => x= −		+ kπ
	4		4

przepraszam za błąd, gdzieś popełniłem ale nie chce mi się teraz szukać

malenka: baardzo Ci dziekuje

Damian: Równanie trygonometryczne Wzór x=x₀+2kπ v x=π −x_o+2kπ

	1		1
sin2(		x)+1=2sin(		x)
	2		2

PW: Godzio, błąd popełniłeś w rozwiązaniu równania

	π
sin(x +		) = sinx
	2

	π
Funkcja sinus jest symetryczna względem prostej x=		, a Ty piszesz tak, jakby na
	2

przedziale o długości 2π przyjmowała każdą wartość tylko raz. Mówiąc po chłopsku: z faktu, że

	1
sinx =
	2

	π
wynika nie tylko, że x=		+2kπ.
	6

Błąd ten powtarzasz przy następnym wejściu rozwiązując równanie

	π
sin(x +		) = sin(−x)
	2

również "połowicznie". Pozdrawiam (sam mylę się bardzo często).

AS: Moja propozycja rozwiązania sinx(x + Pi/2) = sinx x(x + Pi/2) = x x(x + Pi/2) − x = 0 x(x + Pi/2 − 1) = 0 x = 0 lub x + Pi/2 − 1 = 0 x = k*Pi , k ∊ C , x = 1 − Pi/2

dworczi: Ja tam przykład A zrobiłam tak: cosx + sinx = 0 lub. 2cosx = 0 sinx = − cosx / :cosx cosx = 0 sinx / cosx = − 1 x = k pi tgx = −1 x = − pi / 4 + k pi

mała: Bardzo proszę o pomoc 1) cos 2x + sin 2x = 2 x∊(−3π ; π/2) 2) cosx+cos(x−π/4)=0 3) sinx − cosx = 1/√2

Storm: sin²(x)+√2/2cosx=1