funkcje mat: Mam wyznaczyc najmniejsza i najwieksza wartosc funkcji f(x,y,z)=x²+y²+2z² na zbiorze {(x,y,z):x²+y²+z²=1 ∧ x²+y²+3z²=3z} oraz wyznaczyc te punkty, w ktorych te wartosci sa osiagane Czy to jest zadanie na ekstremum globalne czy warunkowe? Mam obliczac pochodne czastkowe i stosowac metode mnoznikow Lagrange'a?

jc: Warunkowe.

mat: Ok. A metoda mnoznikow Lagrange'a bedzie dobra?

ABC: będzie dobra aczkolwiek nie jedyna możliwa

mat: Ok. A jakie sa jeszcze dobre do tego przykladu?

jc: Co to jest? x²+y²+z²=1 x²+y²+3z²=3z 2z²=3z−1, z=1 lub z=1/2 mamy więc x²+y²=0 czyli x=y=0 lub x²+y²=3/4 f(0,0,1)=4 lub f(x,y,3/4)=3/4+2*1/2=7/4. Minimum = 7/4 Maksimum = 4

mat: x²+y²+z²=1 to sfera jednostkowa

mat: Czyli drugie rownanie odejmujemy od pierwszego.

jc: Ja odjąłem pierwsze od drugiego.

mat: Tam nie powinno byc f(0,0,1)=2 lub f(x,y,3/4)=3/4+2/4=5/4 ? Czyli: wartosc najmniejsza funkcji f to 5/4 dla punktu (x,y,3/4) wartosc najwieksza funkcji f to 2 dla punktu (0,0,1)

jc: Pomyliłem się. Jest tak, jak piszesz. (x,y,3/4) to jeden z wielu punktów leżących na pewnym okręgu.

mat: Ok. A jakbym chcial wyznaczyc te punkty? Mam: x²+y²=3/4, czyli y=√3/4−x² lub y=−√3/4−x² A jaki x?

mat: ?

jc: To jest cały okrąg x²+y²=3/4, z=1/2. Ładniej tego nie zapiszesz.