Całki podwójne
student: Oblicz objętość bryły ograniczonej: z2=xy, x+y=4, x+y=6.
Początkowo ustaliłam taki obszar D:
0≤x≤6
−x+4≤y≤−x+6
∫∫D xy dxdy = 396, i to jeszcze razy dwa, bo objętość jest też pod wykresem.
Jednak w odp. jest 38/3 π.
Gdzie popełniam błąd?
6 lut 14:18
jc: Wprowadźmy nowe zmienne:
x=u+v, y=u−v, |J|=2
Teraz mamy:
u=4
u=6
z
2+v
2=u
2
Zapewne autorowi chodziło o fragment stożka.
| | 2 | | 38 | |
V=π32*6/3 − π22*4/3 = |
| (33−23}π= |
| π |
| | 3 | | 3 | |
Dobrze masz.
6 lut 14:50
jc: Masz źle, odpowiedź jest dobra.
Szkoda tylko, że obszar nie został sensownie opisany.
Założę się, że autor nie potrafi podać definicji bryły ograniczonej powierzchniami.
A wystarczyło napisać nierówności w miejsce mglistego pojęcia (lub trudnego do zdefiniowania).
6 lut 14:52
jc: Oj, małe usterki.
Wzór na objętość stożka: V=πHR2/3.
x+y=2u
czyli u=2 lub 3
Wynik 2π(33−23)/3=38π/3.
Ta pierwsza dwójka to Jakobian.
6 lut 14:58
student: Widzę też, że mam błąd przez to, że wstawiłam z2. Poprawka:
2* ∫∫D √xy dxdy.
Ja to widzę tak, ale wychodzi taka całką, że aż nie chce się liczyć...
6 lut 15:07
student: Ale właśnie wydaje mi się, że z tego co napisałam, też byśmy otrzymali objętość tego stożka,
uciętego płaszczyznami z góry i z dołu.
6 lut 15:09
jc: Na pewno, tylko, że po przekształceniu wyraźnie widać, z czym mamy do czynienia.
6 lut 15:28