dowód algebraiczny w8floosh:

	x		y		z		3
Wykaż, że jeżeli x,y,z są liczbami dodatnimi, to		+		+		≥
	y+z		z+x		x+y		2

ABC: która klasa?

w8floosh: 1 liceum rozszerzenie, wiem jedynie ze trzeba pokombinowac z nierownosciami miedzy srednimi ale nie mam pojecia jak

ABC: czyli masz wykorzystać zapewne standardowo AM−GM

a+b+c
	≥3√abc
3

tylko odpowiednio dobrać a,b,c

w8floosh: no tylko że z tego absolutnie nic nie wychodzi...

Saizou : podstawmy 1) x+y=a 2) y+z=b 3) x+z=c (1)−(2) → x−z=a−b dodajemy (3) → 2x=a−b+c (2)−(3) → y−x=b−c dodajemy (1) → 2y=a+b−c (3)−(1) → z−y=c−a dodajemy (2) → 2z=−a+b+c wówczas nasza nierówność wygląda tak (po przemnożeniu przez 2)

a−b+c		a+b−c		−a+b+c
	+		+		≥ 3
b		c		a

a		c		a		b		b		c
	−1+		+		+		−1−1+		+		≥ 3
b		b		c		c		a		a

a		c		a		b		b		c
	+		+		+		+		+		≥ 6
b		b		c		c		a		a

Stosując nierówność między średnią am ≥ gm

a   c   a   b   b   c   + + + + + b   b   c   c   a   a
	≥
6

a

c

a

b

b

c

√

*

*

*

*

*

= 1

b

b

c

c

a

a

zatem

a		c		a		b		b		c
	+		+		+		+		+		≥ 6
b		b		c		c		a		a

ABC: to ja proponuję bez podstawiania tak przekształcić lewą stronę:

x+y+z

x+y+z

x+y+z

1

1

1

L=

+

+

−3=(x+y+z)(

+

+

)−3=

y+z

z+x

x+y

y+z

z+x

x+y

	1		1		1		1		1		3
=		(y+z)+(z+x)+(x+y)(		+		+		)−3≥(		9)−3=
	2		y+z		z+x		x+y		2		2