Współrzędne wierzchołków trapezu kk: Punkty A=(0,4) i D=(3,5) są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD. Podstawy trapezu są prostopadłe do prostej k: x−y−6=0 przechodzącej przez punkt C. Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków oraz pole trapezu. Na razie obliczyłem punkt C: y=−x+b −−> 4=0+b b=4

⎧	y=x−6
⎩	y=−x+8

−x+8=x−6 x=7 y=7−6=1 C(7,1) Jak teraz obliczyć punkt B?

Pokojówka Gu : Skoro obliczles punkt C to latwo obliczyc punkt B Trapez rownoramienny ma os symetrii

janek191:

Bogdan: Można skorzystać z: |BC|² = |AD|², B = (x_B, y_B), B leży na prostej o równaniu: y = ...

kk: ale przecież on będzie miał zupełnie inne położenie w układzie współrzędnych, prawda?

Pokojówka Gu : Prawda . To jest tylko szkic . Patrz tez rysunek janek191

salamandra: k: x−y−6=0 −y=−x+6 y=x−6 prostopadła do niej: y=−x+b A=(0,4) prosta l (na której leży punkt A i B): y=−x+4 prosta m (na której leży punkt D i C): y=−x+b D=(3,5) 5=−3+b b=8 y=−x+8 punkt przecięcia prostej y=x−6 oraz y=−x+4 wyznaczy nam współrzędne punktu M x−6=−x+4 2x=10 x=5 5−6=y −1=y M=(5,−1) Równanie prostej prostopadłej do AB przechodzącej przez punkt D y=x+b D=(3,5) 5=3+b b=2 y=x+2 Punkt przecięcia prostej DN i AB da nam współrzędne punktu N y=x+2 y=−x+4 x+2=−x+4 2x=2 x=1 y=3 N=(1,3) M=(5,−1) Odległość od N do M to długość podstawy górnej |NM|²= (5−1)²+(−1−3)² |NM|²= 32 |NM|= √32 = 4√2 |DC| = 4√2 Można też zauważyć, że punkt przecięcia prostych y=−x+8 oraz y=x−6 da nam C=(7,1) I z tego też wynika że od D do C jest 4√2

	a+b
Wiemy że odcinek od A do M to		, dzięki przekształceniom wyliczmy długość "a" (podstawy
	2

dolnej) A=(0,4) M=(5,−1) |AM|²= 25+25 = 50 |AM|= √50= 5√2

	a+4√2
5√2 =		/ * 2
	2

10√2 = a+4√2 a= 6√2 Wiemy że długość AB to 6√2, więc wyliczymy teraz "B" |AB|² = 72 "B" leży na prostej AB, więc B(x, −x+4) |AB|²= x²+(−x+4−4)² 72= 2x² / : 2 36=x² x=6 v x= −6 B(6, −2) lub B(−6,10) Zobacz czy do tego momentu się zgadza?

salamandra: Nie gra mi tylko ten drugi punkt B co mi wyszedł.

Panna Lu: Sprawdz obliczenia

promując_geogebrę: https://www.geogebra.org/classic/cre7ghn8

salamandra: Nie widzę u siebie błędu

salamandra: Można to chyba sprawdzić w ten sposób, że BC i AD muszą być równe, więc B=(6,−2) C=(7,1) |BC|²= 1+9 = 10 |BC|= √10 A= (0,4) D=(3,5) |AD|²= 9+1= 10 |AD|= √10 II przypadek B=(−6,10) |BC|²= 169+81 = 250 |BC| = √250 Nie zgadza się, bo AD zostanie bez zmian.

salamandra: Pole:

	(a+b)*h		(6√2+4√2)*h
P=		=
	2		2

wysokość to dokładnie |MC| lub |ND| M=(5,−1) C(7,1) |MC|²= 4+4 = 8 |MC| = 2√2

	(10√2)*2√2		40
P=		=		= 20
	2		2

ite: salamandra B=(6, −2) lub B=(−6,10) obie odpowiedzi są dobre. Istnieją dwa trapezy, które spełniają warunki zadania

salamandra: Jeśli B(−6,10) to będzie on równoramienny?

ite: oba są równoramienne, zobacz 15:31

ite: To, że trapez jest równoramienny, jest podane w treści zadania. Inaczej byłoby nieskończenie wiele rozwiązań.

salamandra: Czyli wtedy AB i CD są de facto ramionami (w przypadku B(−6,10))?

ite: W tym przypadku powstaje równoległobok (to też jest trapez równoramienny). Ale dopiero teraz zwróciłam uwagę, że to daje inną kolejność wierzchołków niż podaną w zadaniu i mam wątpliwość, czy warunki zadania są spełnione.

ite: Niech wypowie się ekspert, to zawsze jest dobre wyjście

Mila: A=(0,4) i D=(3,5) są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD. Podstawy trapezu są prostopadłe do prostej k: x−y−6=0 przechodzącej przez punkt C. k: y=x−6 1) AB⊥k, DC⊥k 2) DC: y=−x+b, b=8 , y=−x+8 Wsp. punktu C −x+8=x−6 x=7,y=1 C=(7,1) 3) AB: y=−x+4 |AD|=√3²+1=√10 4) wsp. punktu B : (x−7)²+(y−1)²=10 i y=−x+4⇔ B=(6,−2) lub B'=(4,0) 5) Pole ABCD: A=(0,4),B=(6,−2) ,C=(7,1), D=(3,5) |AB|=√6²+6²=6√2 |DC|=4√2 h− odległość punktu C od prostej AB: x+y−4=0

	|7+1−4\		4
h=		=
	√2		√2

	6√2+4√2		4
PABCD+		*		=5*4
	2		√2

P_ABCD=20

	4√2+4√2		4
lub PAB'CD=		*		=...
	2		√2

ite: thx