Techniczne pytanie jakzdacmature: Witam, czy ową nierówność sin(x/2) + cos(x/2) = √2 sinx mogę podnieść obustronnie do kwadratu, otrzymując sin²(x/2) + 2|six(x/2)cos(x/2)| () + cos²(x/2) = 2 sin² x 1 + |sinx| = 2 sin²x |sinx| = t i dalej sprawa jest banalna czy takie rozwiązanie jest poprawne? wiem, że można się pobawić wzorkami, ale w prostocie rozwiązania tkwi piękno

Jerzy: Prostota to: √2sin(x/2 + π/4) = √2sinx

jakzdacmature: racja, ale ciekawiło mnie czy mój sposób jest dopuszczalny

Jerzy: Tak,ale zbyt długi.Ponadto podnoszenie obu stron równania do kwadratu może wprowadzić obce rozwiązania,więc wymaga dodatkowego sprawdzenia.

xyz: Zadajmy sobie pytanie. Czy jak mamą taką równość 2x+1 = −5 to czy mogę podnieść do kwadratu? otóż rozwiązując "normalnie" te równanie otrzymalibyśmy: 2x = −6 −−> x = − 3 A teraz co się stanie jak podniosę do kwadratu 2x+1 = −5 /² (2x+1)² = 25 (przeniosę na lewo i zastosuję wzór na różnicę kwadratów, zamiast liczyć deltę) (2x+1)² − 5² = 0 (2x+1−5)(2x+1+5) = 0 2x−4 =0 lub 2x + 6 = 0 x = 2 lub x = −3 Zatem otrzymaliśmy dwa rozwiązania, chociaż w rzeczywistości tylko jedno jest poprawne więc teraz dla wszystkich otrzymanych rozwiązań należy podstawić otrzymaną wartość do równania z początku zadania tzn. do 2x + 1 = −5 zatem dla x = 2: 2*2+1 = −5 ? −> nie, sprzeczność, dlatego odrzucam dla x = −3: 2*(−3)+1 =− 5 ? −> tak, to rozwiązanie zostawiam Dlatego Ty teraz musiałbyś tak samo dla wszystkich rozwiązań posprawdzać co oczywiście nie ma za dużego sensu dla funkcji trygonometrycznych, bo rozwiązaniem jest zazwyczaj przedział (chociaż dobra, to jest równość, a nie nierówność więc może jest sens). Niemniej jednak nie polecam tego typu działań.

Jerzy: Ano właśnie,pokazał ci to @xyz.

jakzdacmature: dzięki wielkie !