Zbieżność szeregu albi: Zbadać zbieżność szeregu liczbowego

	n		2
∑n=1∞ (−1)n+1 *		(1 − cos(		))
	2		n

Korzystam tu z kryterium Leibnitza i problem pojawia się w pokazaniu, że ciąg an jest nierosnący. Mógłby ktoś pomóc?

jc:

	2		1		1		1
1−cos		= 1− cos2		+ sin2		= 2sin2
	n		n		n		n

albi: Do tego też doszedłem ale nie wiem co dalej bo pochodna nie wygląda jakoś przyjemnie

jc: Może badaj funkcję od (sin²x)/x na przedziale (0,1]?

	1		1		1		1		1
Inny sposób: n sin2		=		−		(		−sin2		)
	n		n		n		n2		n

	(−1)n		(−1)n		1		1
Twój szereg= −∑		+ ∑		(		−sin2		)
	n		n		n2		n

Pierwszy szereg jest zbieżny (to wiesz), drugi jest bezwzględnie zbieżny (kryterium ilorazowe, porównanie z ∑1/n²)

Bleee: Albi... Czy spełniony jest warunek konieczny zbieżności szeregu?

albi:

	1		1
Wydaje mi się że tak bo an = nsin2(		) a przy n→∞ sin2(		) dąży do zera,
	n		n

przynajmniej mi się wydaje że jest to dobre rozumowanie

albi:

	1
jc mógłbym spytać jak rozbijasz n sin2(		) w tym innym sposobie
	n

jc: Pokręciłem, być może pomysł z rozbiciem można poprawić, ale lepiej sprawdź monotoniczność. Teraz mam już inne sprawy.

albi: Rozumiem, dzięki za pomoc

jc: Nie było tak źle. x=1/n

sin2x		x2 − sin2x		x2 − sin2x
	= x −		,		→0, x→0
x		x		x*x2

	(−1)n
Szereg ∑		jest zbieżny
	n

	1		1
Szereg ∑(−1)n n(		− sin2		) jest zbieżny bezwzględnie,
	n2		n

	1
wystarczy porównać z szeregiem ∑
	n2

	1		(−1)n		1		1
Dlatego szereg ∑n(−1)n sin2		= ∑		− ∑(−1)n n(		− sin2		)
	n		n		n2		n

jest zbieżny (różnica dwóch szeregów zbieżnych).