Zbadaj ekstrema funkcji nannae: Zbadaj ekstrema funkcji f(x, y) = √x² + y² + x + y

Jerzy: Od czego zaczynamy ?

Blee: Jerzy ... nie wiesz ... od wejścia na forum i napisania zadania. Krokiem drugim jest czekanie na gotowca

nannae: Racja, wybaczcie. W pośpiechu zapomniałam wpisać swoich kroków. Pochodne cząstkowe I rzędu:

	x
d/dx f(x, y) =		+ 1
	√x2+y2

	y
d/dy f(x, y) =		+ 1
	√x2+y2

Liczymy punkty stacjonarne:

x
	+ 1 = 0
√x2+y2

x = −√x²+y²

y
	+ 1 = 0
√x2+y2

y = −√x²+y² Nie wiem do końca jak wyznaczyć miejsca zerowe w tych równaniach. Czy mam założyć, że x < 0 i wtedy podnieść obie strony do kwadratu?

xyz: odejmij od siebie oba rownania, wtedy otrzymasz

x−y
	= 0
√x2+y2

stad x=y

xyz: i podstaw do dowolnego z nich ten x = y

nannae: W rzeczywistych nie ma punktów stacjonarnych, więc nie będzie też ekstremów, tak?

xyz: Moze rozwine mysl, bo nie jest to takie trywialne Mamy ze x = y jednoczesnie mamy zalozenie ze √x²+y² ≠ 0 (bo byloby dzielenie przez zero) zatem x² + y² ≠ 0 (ale mowimy ze x = y) zatem y² + y² ≠ 0 −−> 2y²≠0 −−> y≠0 (i rownoczesnie x≠0, bo x=y) Majac dziedzine liczymy

	x
podstawmy do x=y do rownania		+ 1 = 0
	√x2+y2

zatem

y
	+ 1 = 0
√y2+y2

y
	= −1 /*√2y2
√2y2

y = −√2y² / *(−1) √2y² = −y (dochodzi zalozenie ze y ≤ 0, ale wiemy z wczesniejeszego zalozenia, ze y ≠ 0 wiec suma zalozen mowi, ze y < 0. Skad zalozenie ze y ≤ 0 ? poniewaz pierwiastek zwraca zawsze wartosc nieujemna wiec gdyby y byl rowny np. 10, to bysmy mieli ze √2y² = −10 a to jest oczywista sprzecznosc wiec dla y > 0 mielibysmy sprzecznosc. W rownaniach typu √x = coś tam, zawsze dochodzi dodatkowe zalozenie !. Troche odbieglem od tematu, zatem kontynuujac): mamy, ze y < 0, obie strony rownosci sa nieujemne (bo zalozenie ze y < 0, wiec −y >0) wiec moge podniesc do kwadratu √2y² = −y /² 2y² = y² 2y²−y² = 0 y = 0 sprzeczność z założeniem, że y < 0 Wniosek: Nie istnieja rozwiazania tego uklady rownan, czyli nie ma punktow podejrzanych o ekstremum dla podanej funkcji.

xyz: 22:04 − tak