Analiza matematyczna-4 zadania proszę o jakąkolwiek pomoc Blackstar: Zbliża mi się egzamin i potrzebuje pomocy z kilkoma zadaniami z poprzedniego roku. Proszę o pomoc. 1. Niech będzie dany szereg ∞

	1
∑
	ln(n) + n2

n=1 Czy warunek konieczny zbieżności tego szeregu jest spełniony? Odpowiedź uzasadnij. Czy szereg ten jest zbieżny? Odpowiedź uzasadnij 2.Rozważmy funkcję f(x)= cos²(x) + 2sin²(x) Wyznacz wartości x, dla których osiągane są lokalne ekstrema funkcji f,określ ich typ oraz podaj wartości ekstremalne dla x∊[−^π₄;2π+^π₄] Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f dla x∊[−^π₄;2π+^π₄] Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f dla x∊[0,π] Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x₀=^π₂ 3.Dane jest równanie 3ln(x+1)=ln(1−x²) z niewiadomą x∊(−1,1). Znajdź wszystkie rozwiązania tego równania (o ile istnieją). 4.Uzasadnij, że funkcja f(x)= e^x(x2−4) − 3x² (w nawiasie jest x kwadrat − 4) ma w przedziale [0;2] co najmniej jedno miejsce zerowe.

Blee: 1) no i słuchamy ... jakie masz pomysły ... jakie przewidywania ... co jesteś w stanie zrobić

Blee: 2) de facto − te same pytania

Blee: w sumie to ja tu po prostu widzę zeszłoroczny egzamin ... naprawdę nic z tego nie potrafisz zrobić

strzelec97: Powiem swoje przemyślenia ale niestety nie ukrywam nie jestem najlepszy w te klocki. co do zadania 1 zeby określić warunek konieczny zbieżności patrze czy granica ciągu dąży do zera.

Blackstar: w mianowniku mamy i logartm naturalny który dąży do nieskończonosći i n² które również dąży do nieskończoności wiec granica całego ciągu dąży do zera. ale nie wiem czy powinienem to jakoś ropisać na egzaminie?

Blee: możesz np. tak to rozpisać:

	1
lim an = lim		= 0 <−−− i tyle
	ln n + n2

A teraz co do dalszej części zadania −−− proponuje kryterium porównawcze czyli oszacować wyraz tego szeregu trzeba. Tylko jak uważasz, ten szereg będzie zbieżny (suma skończona) czy rozbieżny (suma nieskończona)? I dlaczego tak uważasz ?! <−−− te pytania są istotne przy metodzie porównawczej.

Blackstar: i teraz sie zatrzymuje bo wydaje mi sie ze samo określenie ze granica ciągu dąży do zera nie oznacza spełnienia warunku koniecznego i nie wiem co dalej moge zrobić z tym fantem. i nie wiem jak określić czy ciąg jest zbieżny czy nie

Blee: Warunek konieczny zbieżności szeregu jest właśnie taki: lim a_n = 0 To jest warunek KONIECZNY (czyli tak, że spełnienie tego jest wymagane, aby w ogóle myśleć o zbieżności szeregu ... albo jak wolisz − jeżeli coś NIE SPEŁNIA warunku konieczne, to na pewno nie jest zbieżne − koniec kropka) Warunek KONIECZNY nie jest tym samym co warunek WYSTARCZAJĄCY (ten drugi mówi o tym, że "jeżeli go spełnia, to szereg jest zbieżny" )

Blee: Blackstar −−− powiedz mi: a) jakie studia b) jaka uczelnia c) co Ty właściwie robiłeś przez cały semestr

Blackstar: uważam że szereg będzie będzie zbieżny bo dla n=1 logarytm naturalny przyjmuje wartość 1 a n² bedzie też zawsze 1. więc wychodzi nam 1/1=1

Blackstar: ok rozumiem. dzięki za wyjaśnienie jestem na UW.

Blee: 19:18 <−−− absolutnie nie rozumiem Twego toku rozumowania

	1		1		1
zauważ, że		≤		=
	ln(n) + n2		0 + n2		n2

	1
natomiast wiemy, że ∑		jest ..........
	n2

W takim razie na mocy kryterium porównawczego ........

Blee: zad 4. Wskazówka: Tw. Darboux (i czekam na Twoje rozwiązanie tutaj tego zadania)

Blackstar: nie wiem jaka będzie suma 1/n² wiem ze ∊1/n bedzie rozbieżny bo suma to ∞

Blackstar: wiec mysle ze 1/n² też może być rozbieżny

Blee: Nie będzie rozbieżny ... będzie zbieżny coś takiego jak 'szereg Dirichleta' coś Ci mówi (Mocno skrótowo) mówiąc

	1
∑		będzie:
	nα

a) rozbieżny dla α ≤ 1 b) zbieżny dla α > 1

Blackstar: niestety nie mówi mi zbyt dużo ale dziękuje zapamiętam na przyszłość. co do zadania 4 nie znam takiego twierdzenia o,O

Blee: to SPRAWDŹ co to za twierdzenie. Wybacz, ale ja nie będę za Ciebie w Twoim imieniu nadrabiał braków z całego semestru. Pomijając to −−− zad 3 jest na poziomie drugiej klasy szkoły średniej

Blackstar: co do zadania 4 nie wystarczy po prostu policzyć wartości funkcji dla x=0 i 2 ? bo dla 2 wychodzi wynik ujemny dla 0 dodatni więc wychodzi na to że musi mieć conajmniej jedno mniejsce zerowe w tym przedziale

Bleee: I to co napisałeś to właśnie to co trzeba zrobić i to (wniosek z tego co robisz) jest o czym mówi tw. Darboux.

Blackstar: ach no to super dzięki mam jeszcze pytanie co do zadania 3 w takim razie zrobiłem to tak ale nie wiem czy dobrze: 3ln(x+1)=ln(1−x²) 3ln(x+1)=ln((1−x)(1+x)) 3ln(x+1)=ln(1−x)+ln(1+x) 2ln(x+1)=ln(1−x)

ln(x+1)2
	=1
ln(1−x)

log_(1−x)(x+1)²=1 x²+3x+1=0 i wtedy tylko jedno miejsce zerowe spełnia warunek zeby x∊(−1;1)

Blee: nieeee ... niepotrzebnie dzielisz 2ln(x+1) = ln(1−x) ln( (x+1)²) = ln(1−x) (x+1)² = (1−x) .....

Blackstar: ach no tak racja sorrki nie pomyślałem dzięki