Ułamki algebraiczne - dowód kuba: Dzień dobry! Czy ktoś mógłby mi pomóc w zrobieniu tych dowodów? 1. Wykaz, że jeśli A,b,c,D >=0 to √(a+c)(b+d) >= √ab + √cd. Chodzi mi o wykonanie tego dowodu za pomocą nierówności między średnimi, innym sposobem dałem już radę 2. Wykaz, że jeśli A i b są liczbami dodatnimi, to a/√b + b/√a >= √a + √b Tutaj podobnie najbardziej zależy mi na wykorzystaniu nierówności między średnimi ale chętnie też przeanalizuje inne metody .

jc: a,b,c,d ≥0 (a+b)(c+d) = ab +cd + ac + bc = (√ab+√cd)² + (√ac − √bd)² ≥ (√ab+√cd)² Wystarczy teraz przyłożyć pierwiastek.

PW: Zadanie 2. Co oznacza a∧√b?

PW: A do diabła ze ślepotą. To jest

	a		b
		+		?
	√b		√a

kuba: tak

PW: Na nierówności z dwiema zmiennymi dodatnimi mam taki 'bezmyślny' sposób, który prawie zawsze daje dowód. Niech b = ka, k ≥ 1 (założenie to nie zmienia sensu zadania, gdyż zmienne a i b można zamieniać między sobą bez zmiany nierówności) Badana nierówność przybiera postać

	a		ka
		+		≥ √a + √ka
	√ka		√a

i równoważną

	1
		+ k ≥ 1 + √k
	√lk

	1
k − 1 ≥ √k −
	√lk

	k − 1
k − 1 ≥
	√k

Nierówność ta jest prawdziwa dla k = 1, a dla k > 1 równoważna nierówności

	1
1 ≥		,
	√k

która też jest prawdziwa (mianownik prawej strony jest większy od 1). Równoważność kolejnych nierówności oznacza prawdziwość badanej nierówności.