Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność Hjust2: Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x⁴−2x³−2x²+9>0 Więc wyznaczam pochodną: f'(x)= 4x³ − 6x² − 4x <=> 0 x(4x²−6x−4)=0 x=0 ∨ √Δ=10 −−> x₁ = −¹₂ ∧ x₂ = 2 Dobrze to robię? Jak to dalej pociągnąć?

Szkolniak: x⁴−2x³−2x²+8+1>0 x³(x−2)−2(x²−4)+1>0 x³(x−2)−2(x+2)(x−2)+1>0 (x−2)(x³−2x−4)+1>0 (x−2)(x−2)(x²+2x+2)+1>0 (x−2)²(x²+2x+2)+1>0 +komentarz

jc: (x²−x−2)² + (x−2)² + 1 > 0

Hjust2: Widziałem ten sposób, ale chciałbym zrobić go pochodną by to poćwiczyć, więc jak?

jc: No to sprawdź wartość wyrażenia w miejscach, gdzie zeruje się pochodna. Wystarczy, że te 3 wartości będą dodatnie.

Jerzy: Chyba jeszcze trzeba dodatkowo coś pokazać.To,że funkcja ma maksimum lokane dodatnie nie oznacza, że przyjmuje tylko dodatnie wartości.

xyz: a nie trzeba dodatkowo sprawdzic granic w + i − nieskonczonosciach? jak dla mnie same ekstremum lokalne nie starczy...

Jerzy: To miałem na myśli

jc: granice są oczywiste. Nie trzeba sprawdzać, czy w rozważanych 3 punktach mamy ekstrema. W punkcie, w którym rozważane wyrażenie przyjmuje wartość najmniejszą, pochodna = 0.

Jerzy: Czy naprawdę uważasz,że jeśli wszystkie ekstrema lokalne są dodatnie,to funkcja przyjmuje tyko dodatnie wartości ?

Hjust2: Nadal niestety nie rozumiem, mógłby ktoś to dokończyć?

xyz: policz wartosc funkcji dla punktow w ktorych pochodna wyszla Ci zero oraz ja bym dodatkowo policzyl lim x−>± ∞ z funkcji

Jerzy: To,że funkcja posiada tylko dodatnie ekstrema lokalne nie gwarantuje,że ma tylko wartości dodatnie. Musi być spełniony drugi warunek: granice na końcach dziedziny (−∞,∞) muszą być dodatnie.