wartość bezwzględna salamandra: Skoro √x² = |x| to dlaczego kiedy mam do policzenia odległość i wynosi ona √(−x²+4)², to po opuszczeniu pierwiastka zostaje −x²+4, bez wartości bezwzględnej− wynika to z tego, że odległość nie może być ujemna i dlatego od razu pozbyto się wartości bezwzględnej, która powinna tam być?

Mila: √(−x²+4)²=|−x²+4|

Mila: √(−x²+4)²=−x²+4 tylko dla x∊<−2,2>

salamandra: No właśnie ale już chyba wiem, aby się upewnić napiszę całe zadanie: https://imgur.com/a/mFzF8jB Chodzi o to, że bok AD to 2x, więc nie może on być ujemny, stąd bierzemy pod uwagę x∊(0;2), tam funkcja jest dodatnia, więc wartość bezwzględną opuszczamy bez zmiany znaku?

Mila: Zgadza się, podano założenie dla x. |−x²+4| =−x²+4 dla x∊<−2,2> i dodatkowo x>0⇔x∊(0,2)

salamandra: Nie rozumiem dlaczego zawężamy się tylko do przedziału (0;2), dlaczego nie bierzemy pod uwagę całej dziedziny, czyli (−2, 2). Mam teraz do tego zadanie już bez rozwiązania: Oblicz największą wartość pola prostokąta, którego dwa wierzchołki leżą na paraboli o równaniu y=x², a dwa pozostałe na cięciwie paraboli wyznaczonej przez prostą o równaniu y=3 A=(−x, 3) B=(x,3) C(x,x²) D=(−x, x²) |AB|= √4x² = 2x² dla x>0 |AD|= √(x²−3)² = x²−3 dla x (−∞; −√3) U (√3; ∞) Nie wiem jakie mam brać warunki dla x, i tak jak napisałem wcześniej− dlaczego skupiamy się tylko na tym wąskim przedziale (0;2) i jak to przełożyć na to zadanie, które teraz robię?

Mila: Ze względu na symetrię. Zauważ, że : Pole po prawej : P₁(x)=x*(−x²+4)=P₂ po lewej. Dla uproszczenia rachunków: P(x)=2x*(−x²+4)

salamandra: Rozumiem, ale nadal nie wiem jak to się ma do tego założenia x>0, a co jakbym chciał to zrobić w całym przedziale?

salamandra: Bo autor liczy jednak pole całego prostokąta, a nie tego "po prawej" i mnoży *2, ale robi to z założeniem x∊(0;2)

salamandra: I licząc załóżmy to pole po lewej: to D(−x,0) więc odległość odcinka od początku układu współrzędnych do D to √(−x)²− i tutaj też− dlaczego nie jest |x|, tylko x?

Mila: y=−x²+4 B=(x,4−x²), C=(−x, −x²+4) A=(x,0), x>0, bo A leży po prawej stronie OY D=(−x,0) |AD|=|2x|=2x, |AD|=|BC| |AB|=√(−x²+4)²=−x²+4 dla x>0 i x<2 bo punkt A nie może leżeć poza wykresem P_▭=|AD|*|AB|=2x*(−x²+4) ======================= Może obliczyć tyko pole prostokąta po prawej i pomnożyc przez 2 (symetria) albo policzyć P1 i pole po lewej wtedy: P(x)=P1(x)+P₂(x) ale po co ?

salamandra: Czyli idąc "od tyłu", gdybym napisał D=(x,0) x<0, to wtedy A(−x, 0) (ze względu na symetrię i wyszłoby to samo)− o to chodzi mniej więcej?

Mila: Zawsze musisz pamiętać o znaku liczby opuszczając znak wartości bezwzglednej.

salamandra: Dlatego, skoro założę x<0 i D(x,0), to A będzie miało x "przeciwny", czyli −x? Ok, idąc do tego ćwiczenia: Oblicz największą wartość pola prostokąta, którego dwa wierzchołki leżą na paraboli o równaniu y=x2, a dwa pozostałe na cięciwie paraboli wyznaczonej przez prostą o równaniu y=3 B(x, 3) x>0 (x∊(0;∞)) A(−x,3) C(x,x²) D(−x, x²) |AB| = √(x+x)² = |2x²| = 2x² bo x>0 |AD| = √(−x+x)²+(x²−3)²= √(x²−3)² (i co tutaj zrobić? żeby to opuścić nie zmieniając znaku musiałbym dać inne założenie x) x∊(−∞; −√3) U (√3; ∞) P(x) = 2x²(x²−3) = 2x⁴−6x² P'(x) = 8x³−12x P'(x)=0 ⇔ 8x³−12x=0 8x³−12x=0 4x(2x²−3)=0 x=0 v x= −√3 v x=√3 I z wykresu pochodnej wychodzi na to, że wartość największa nie jest określona, bo w przedziale (√3; ∞) funkcja rośnie

salamandra: Ok, znalazłem pierwszy błąd− w AB powinno być 2x, ale to i tak P(x)= 2x(x²−3)=2x³−6x P'(x)= 6x²−6 P'(x)=0 ⇔ 6x²−6 =0 6x²−6=0 x²=1 x=−1 v x=1 Przepraszam za tak ostrą "parabolę", ale nie mogłem jej narysować. Z tego wynika że −1 jest lokalnym maksimum, a w odpowiedzi jest, że to dla x=1 będzie największe pole

Mila: y=x² x²=3 x=√3 lub x=−√3 B=(x,3), C=(−x,3) x∊(−√3,√3) A=(x,y), x∊(0,√3 ), D=(−x,y), y∊(0,3), y=x² |AB|=√(3−y)²=|3−y|=3−y |AD|=2x P(x)=2x(3−x²) P(x)=6x−2x³ P'(x)=6−6x² 6−6x²=0 1−x²=0 x=1 lub x=−1 1−x²>0⇔x∊(−1,1) i x>0 w x=1 maksimum, przy przejściu przez x=1 pochodna zmienia znak z (+) na (−)

salamandra: Dziękuję bardzo , nawiasem − czy widzisz, abym gdzieś popełnił błąd logiczny?

Mila: Masz niedobry rysunek, (19.17) prosta y=3 ma ograniczać prostokąt od góry, a u Ciebie prostokąt jest nieograniczony od góry i dlatego Ci nie wychodzi.

salamandra: A skąd wynika, które wierzchołki mają być "górne"?

salamandra: Bo wtedy pole mogłoby być nieskończenie wielkie?

Mila: Tak , prostokąt nie miałby ograniczenia z góry.

Jerzy: Awesome

salamandra: Jeszcze w sumie jedno pytanie− do |AD|, skoro x∊(−√3; √3) to dlaczego piszemy, że to 2x, skoro to √(2x)², więc |2x|, i nie wiemy jaki jest x?

salamandra: Ok, nieważne, nie zauważyłem klauzuli x∊(0; √3)

salamandra: Tylko nie wiem, bo dla B i C zakładamy przedział (−√3; √3) (są one symetryczne tak jak A i D), a dla A i D zakładamy (0;√3)?

salamandra: Podbiję, bo to dość istotna dla mnie wątpliwość