Pozdrawiam jakzdacmature: Witam, Czy w zadaniu: udowodnij, że dla dowolnych liczb a, b prawdziwa jest nierówność a²+ ab+ b² >= 3(a+b−1) Wystarczy dowód (a−1)² + (b−1)² + (b−1)(a−1) >= 0 ? Z góry dziękuję i życzę miłego wieczorku

Saizou : Nie wiesz czy składnik (b−1)(a−1) jest nieujemny

PW: Dla a, b = 0 nierówność jest prawdziwa. Dla a≠0 można oznaczyć b = pa, p∊R uzyskując równoważną nierówność (*) a² + pa² + p²a² ≥ 3(a + pa − 1) a²(1 + p + p²) ≥ 3a(1 + p) − 3 (nierówność kwadratowa zmiennej 'a' z marametrem 'p'). Δ = 9(1 + p)² − 12(1 + p + p²) = −3 + 6p − 3p² = −3(p²−2p+1) = −3(p−1)² ≤ 0 Niezależnie od parametru 'p' nierówność (*) jest prawdziwa, co kończy dowód. Prawdziwość nieróności wynika z faktu, że współczynnik przy a² równy

	1		3
p2 + p + 1 = (p+		))2 +
	2		4

jest dodatni.

jakzdacmature: Hmm, nie da się tego jakoś udowodnić bez nierówności kwadratowej?

jc:

	(a−1)2 + (b−1)2 + (a+b−2)2
a2+b2+ab−3a−3b+3=		≥ 0
	2

PW: Czego wybrzydzasz? Podałem sposób, który "w miarę bezmyślnie" daje dowód, wymaga tylko rachunków. Na sposób podany przez jc większość uczniów nie wpadnie.