Oblicz liczbę zespoloną kacpi666xd: Mam zadanie obliczyć liczbę zespoloną z²=z(sprzężenie) Rozpisuje (x+iy)²=x−iy czyli x²+2xiy−y²=x−iy Czyli Mamy część Re=RE, Im=Im więc powstaje równie którego nie mg rozwiązać: x²−y²=x 2xy=−y Podstawianie i próby z wzorów skróconego mnożenia nic nie dają , ma ktoś jakiś pomysł?

Blee: z drugiego równania masz dwie możliwości: 1) y = 0 czyli x² = x −> x = 0 lub x = 1 2) 2x = −1 −> x = −0.5 podstawiasz do pierwszego i masz: 0.25 − y² = −0.5 −> y² = 0.75 −> y = ±√3/2

Adamm: |z|² = |z| ⇒ z = 0 lub |z| = 1 z = exp(i α) = cos(α) + isin(α) exp(i 2α) = exp(−i α) 2α = −α +2kπ α = 2kπ/3 z = 1 lub z = exp(i 2π/3) lub z = exp(i 4π/3)

PW: Inny sposób z² = z̅ Jest oczywiste, że jednym z rozwiązań jest z₀ = 0. Dla innych 'z' można równoważnie zapisać z³ = zz̅, z³ = |z|². Niech z = |z|(cpsα + i sinα), wtedy |z|³(cos3α + i sin3α) = |z|² (*) |z|((cos3α + i sin3α) = 1, a to oznacza, że część urojona lewej strony jest zerem: sin3α = 0 α∊<0, 2π) α = 0 lub 3α = π lub 3o = 2π lub 3α = 3π lub 3o = 4π lub 3o = 5π, czyli

	π		2π		4π		5π
α = 0 lub α =		lub o =		lub α = π lub o =		lub o =
	3		3		3		3

co podstawione do (*) daje na przemian |z|(1 + 0) = 1 lub |z|(−1 + 0) = 1 Drugie z tych równań nie mają rozwiązania, a więc

	2π		4π
|z| = 1 i α = 0 lub |z| = 1 i α =		lub |z| = 1 i α =		,
	3		3

to znaczy

	2π		2π		4π		4π
z = 1 lub z = cos		+ i sin		lub z = cos		+ i sin
	3		3		3		3

	1		√3		1		√3
z = 1 lub z = −		+ i		lub z = −		− i
	2		2		2		2

Chciałem rozwiązać "jakoś elementarnie" a wyszło najgorzej (te 5 rozwiązań równania sin3α = 0), ale skoro już to udłubałem...